《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

4. 如图，$BE$，$BF$分别是$\angle ABC$与它的邻补角$\angle ABD$的平分线，$AE\perp BE$，垂足为点$E$，$AF\perp BF$，垂足为点$F$，$EF$分别交边$AB$，$AC$于点$M$和点$N$.若$AB = 7$，$BC = 4$，则$MF + NE$的长为___.

答案： 4.5

5. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 2$，$AD = 4$，$DE = CE$，点$P$为边$BC$上的任意一点，那么$AP + EP$的最小值为___.

答案： 5.5

6. 如图，在$\triangle ABC$中，点$D$，$E$，$F$分别在$BC$，$AB$，$AC$上，且$DE// AC$，$DF// AB$.
(1) 如果$\angle BAC = 90^{\circ}$，那么四边形$AEDF$是___形.
(2) 如果$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，那么四边形$AEDF$是___形.

答案： 6.
(1)矩
(2)菱

7. 如图，菱形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，点$E$是$AD$的中点，点$F$，$G$在$AB$上，$EF\perp AB$，$OG// EF$.求证：四边形$OEFG$是矩形.

答案： 7.证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，∠DAO = ∠BAO.
∵点E是AD的中点，
∴$AE = OE = \frac{1}{2}AD，$
∴∠EAO = ∠AOE，
∴∠AOE = ∠BAO，
∴OE//FG.
∵OG//EF，
∴四边形OEFG是平行四边形.
∵EF⊥AB，
∴∠EFG = 90°，
∴四边形OEFG是矩形.

知识梳理

答案： 矩形性质 边 对边平行且相等 角 四个角都是直角 对角线 相等且互相平分
矩形判定 四边形 平行四边形 三个角是直角 平行四边形 一个角是直角 对角线相等

1. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 10$，$BC = 8$，$AD$平分$\angle BAC$交$BC$于点$D$，点$E$为$AC$的中点，连接$DE$，则$\triangle CDE$的周长为（ ）

A.$20$
B.$18$
C.$14$
D.$13$

答案： 1.C