《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

1. 若反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象经过点 $ (3, -5) $，则该反比例函数的图象位于（ ）

A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第一、二象限
D.第三、四象限

答案： 1.B

2. 如图是三个反比例函数 $ y = \frac{k_1}{x}, y = \frac{k_2}{x}, y = \frac{k_3}{x} $ 在 $ x $ 轴上方的图象，由此观察得到 $ k_1, k_2, k_3 $ 的大小关系为（ ）

A.$ k_1 ＞ k_2 ＞ k_3 $
B.$ k_3 ＞ k_2 ＞ k_1 $
C.$ k_2 ＞ k_3 ＞ k_1 $
D.$ k_3 ＞ k_1 ＞ k_2 $

答案： 2.B

3. 如图，在平面直角坐标系中，点 $ A $ 在第一象限，$ AB \perp y $ 轴于点 $ B $，反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0, x ＞ 0) $ 的图象与线段 $ AB $ 交于点 $ C $，且 $ AB = 3BC $.若 $ \triangle AOB $ 的面积为 $ 12 $，则 $ k $ 的值为____

答案： 3.8

4. 过双曲线 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0) $ 上的动点 $ A $ 作 $ AB \perp x $ 轴于点 $ B $，点 $ P $ 是直线 $ AB $ 上的点，且满足 $ AP = 2AB $，过点 $ P $ 作 $ x $ 轴的平行线交此双曲线于点 $ C $.如果 $ \triangle APC $ 的面积为 $ 8 $，则 $ k $ 的值是____.

答案： 4.12或4

5. 如图，四边形 $ OABC $ 是平行四边形，点 $ C $ 在 $ x $ 轴上，反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象经过点 $ A(5, 12) $，且与边 $ BC $ 交于点 $ D $，若 $ AB = BD $，则点 $ D $ 的坐标为____

答案： 5.$\left(8,\frac{15}{2}\right)$

6. 如图，一次函数 $ y = x + 1 $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象相交，其中一个交点的横坐标是 $ 2 $.
(1) 求反比例函数的表达式.
(2) 将一次函数 $ y = x + 1 $ 的图象向下平移 $ 2 $ 个单位长度，求平移后的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 图象的交点坐标.
(3) 直接写出一个一次函数，使其过点 $ (0, 5) $，且与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象没有公共点.

答案： 6.解：
(1)将$x=2$代入$y=x+1$，得$y=2+1=3.\therefore$该交点的坐标为$(2,3)$.将点$(2,3)$代入反比例函数的表达式，得$k=2×3=6.\therefore$反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$①.
(2)一次函数$y=x+1$的图象向下平移$2$个单位长度得到的图象的函数表达式为$y=x-1$②.联立①②并解得$\begin{cases}x_1=-2,\\y_1=-3,\end{cases}\begin{cases}x_2=3,\\y_2=2.\end{cases}\therefore$交点坐标为$(-2,-3)$或$(3,2)$.
(3)$y=-2x+5$.(答案不唯一) 提示：设一次函数的表达式为$y=kx+5$③.联立①③并整理，得$kx^{2}+5x-6=0.\because$两个函数没有公共点，故$\Delta=25+\frac{25}{24k}＜0$，解得$k＜-\frac{25}{24}$.故可取$k=-2$，此时一次函数的表达式为$y=-2x+5$.