《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

18.(9分)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+3x+k-2=0$的两个实数根分别为$x_{1}$,$x_{2}$,若$(x_{1}+1)·(x_{2}+1)=-1$,求$k$的值.

答案： 18.解：
∵方程$x^2+3x+k-2=0$的两个实数根分别为
$x_1,x_2,$
∴$x_1+x_2=-3,x_1x_2=k-2.$
∵$(x_1+1)·$
$(x_2+1)=-1,$
∴$x_1x_2+(x_1+x_2)+1=-1,$
∴k-
2+(-3)+1=-1,解得k=3.当k=3时,根的判别
式大于0,方程有两个不相等的实数根.
∴k的值是3.

19.(9分)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B=90^{\circ}$,$AB=6cm$,$BC=8cm$,若点$P$从点$A$出发沿$AB$边向点$B$以1cm/s的速度移动,点$Q$从点$B$出发沿$BC$边向点$C$以2cm/s的速度移动,两点同时出发.
(1)几秒时,$\triangle PBQ$的面积为8cm^{2}?
(2)几秒时,线段$PQ$的长为$4\sqrt{2}$cm?
(3)$\triangle PBQ$的面积能否为10cm^{2}?若能,求出动点出发的时间;若不能,请说明理由.

答案： 19.解：
(1)设ts时,△PBQ的面积为$8cm^2.$由题意,得
PB=(6-t)cm,BQ=2tcm.
∵∠B=90°,
∴$\frac{1}{2}(6-$
t)×2t=8,解得$t_1=2,t_2=4.$
∴2s或4s时,△PBQ
的面积为$8cm^2. (2)$设出发xs时$,PQ=4\sqrt{2}cm.$
由题意,得$(6-x)^2+(2x)^2=(4\sqrt{2})^2,$解得$x_1=\frac{2}{5},$
$x_2=2.$
∴出发$\frac{2}{5}s$或2s时,线段PQ的长为$4\sqrt{2}cm.$
(3)不能.理由如下：设动点出发ys时,△PBQ的面
积为$10cm^2,$则$\frac{1}{2}(6-y)×2y=10,$即$y^2-6y+$
10=0.
∵△=36-4×10=-4＜0,
∴该方程无实数
解.
∴△PBQ的面积不能为$10cm^2.$