《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

知识梳理
如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，如果锐角 $A$ 确定，那么 $\angle A$ 的对边与______的比、邻边与______的比也随之确定。$\angle A$ 的对边与______的比叫作 $\angle A$ 的正弦，记作 $\sin A$，$\angle A$ 的邻边与______的比叫作 $\angle A$ 的余弦，记作 $\cos A$，即 $\sin A =$______，$\cos A =$______。$\sin A$ 的值越大，梯子越______；$\cos A$ 的值越小，梯子越______。

答案： 斜边 斜边 斜边 斜边
$\frac{\angle A的对边}{斜边}$
$\frac{\angle A的邻边}{斜边}$ 陡 陡

1. 若 $0^{\circ} \lt \angle A \lt 90^{\circ}$，且 $\cos A$ 的值是方程 $2x^{2} - 3x + 1 = 0$ 的一个根，则 $\cos A$ 的值为（ ）

A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$1$ 或 $2$
D.$\frac{1}{2}$ 或 $1$

答案： 1.A

2. $\triangle ABC$ 在网格中的位置如图所示（每个小正方形的边长均为 $1$），$AD \perp BC$ 于点 $D$，下列结论错误的是（ ）

A.$\sin \alpha = \cos \alpha$
B.$\tan C = 2$
C.$\sin \beta = \cos \beta$
D.$\tan \alpha = 1$

答案： 2.C

3. 如图，$A$ 为角 $\alpha$ 边上任意一点，作 $AC \perp BC$ 于点 $C$，$CD \perp AB$ 于点 $D$，下列用线段比表示 $\cos \alpha$ 的值，错误的是（ ）

A.$\frac{BD}{BC}$
B.$\frac{BC}{AB}$
C.$\frac{AD}{AC}$
D.$\frac{CD}{AC}$

答案： 3.C

4. 如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD$ 是斜边 $AB$ 上的高，$BC = \sqrt{7}$，$AC = 3$，则 $\sin \angle ACD =$（ ）

A.$\frac{\sqrt{7}}{4}$
B.$\frac{\sqrt{7}}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$

答案： 4.C

5. 如图，$\triangle ABC$ 的顶点都在方格纸的格点上，则 $\sin A =$______。

答案： 5.$\frac{\sqrt{5}}{5}$

6. 在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 6$，$\cos B = \frac{2}{3}$，则 $BC$ 的长为______。

答案： 6.4

7. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD \perp AB$ 于点 $D$，$AC = 8$，$AB = 10$，求 $\cos \angle BCD$ 的值。

答案： 7.$\frac{4}{5}$