《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

2. 如图，在矩形$ABCD$中，$AC$，$BD$相交于点$O$，$AE$平分$\angle BAD$交$BC$于点$E$，若$\angle EAO = 15^{\circ}$，则$\angle BOE$的度数为（ ）

A.$85^{\circ}$
B.$80^{\circ}$
C.$75^{\circ}$
D.$70^{\circ}$

答案： 2.C

3. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 6$，$AD = 9$，将四边形$EFCD$沿$EF$折叠得到四边形$EFC'D'$，点$D'$落在$AB$上，若四边形$EFCD$的面积为$24$，则$AD'$的长度为___.

答案： 3.3

4. 如图，延长矩形$ABCD$的边$BC$至点$E$，使$CE = BD$，连接$AE$，若$\angle ADB = 30^{\circ}$，则$\angle E =$___$^{\circ}$.

答案： 4.15

5. 如图，在矩形$ABCD$中，$AD = 4$，点$P$是直线$AD$上一动点，若满足$\triangle PBC$是等腰三角形的点$P$有且只有$3$个，则$AB$的长为___.

答案： 5.4或$2\sqrt{3}$

6. 如图，在菱形$ABCD$中，对角线$AC$与$BD$交于点$O$，延长$DC$到点$E$，使$CE = CD$，延长$BC$到点$F$，使$CF = BC$，顺次连接点$B$，$E$，$F$，$D$，若$BD = 1$，$AC = \sqrt{3}$.
(1) 求证：四边形$BEFD$是矩形.
(2) 求四边形$BEFD$的周长.

答案： 6.
(1)证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB = OD，
∴∠DOC = 90°.
∵CE = CD，CF = BC，
∴四边形BEFD是平行四边形.
∵OB = OD，CE = CD，
∴OC是△BDE的中位线，
∴OC//BE，
∴∠DBE = ∠DOC = 90°，
∴四边形BEFD是矩形.
(2)解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴$OC = OA = \frac{1}{2}AC.$由
(1)知，OC是△BDE的中位线，又
∵$AC = \sqrt{3}，$
∴$BE = 2OC = AC = \sqrt{3}.$
∵四边形BEFD是矩形，BD = 1，
∴四边形BEFD的周长为$2(BD + BE) = 2 + 2\sqrt{3}.$

知识梳理
1. 有一组邻边____，并且有一个角是____的平行四边形叫作正方形.
2. 正方形既是____，又是____，具有____和____的所有性质.
3. 正方形的四个角都是____，四条边____，对角线____.

答案： 1.相等 直角 2.菱形 矩形 菱形 矩形
3.直角 相等 相等且互相垂直平分

1. 如图，正方形 $ABCD$ 和正方形 $EFGH$ 全等，把点 $A$ 固定在正方形 $EFGH$ 的中心，当正方形 $ABCD$ 绕点 $A$ 转动时，两个正方形重叠部分的面积是每个正方形面积的（ ）

A.$\dfrac{1}{5}$
B.$\dfrac{2}{5}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{2}$

答案： 1.C