《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

知识梳理

①____ ②____ ③____ ④____

答案： ①相等 ②直角 ③直角 ④相等

1. 下列命题是假命题的是（ ）

A.四个角相等的四边形是矩形
B.对角线相等的平行四边形是矩形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

答案： 1.C

2. 如图，在矩形纸片 $ABCD$ 中，点 $E$ 是 $CD$ 的中点，连接 $AE$，按以下步骤作图：①分别以点 $A$ 和点 $E$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2}AE$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $M$ 和点 $N$；②作直线 $MN$，且直线 $MN$ 刚好经过点 $B$。若 $DE = 2$，则 $BC$ 的长度是（ ）

A.$2$
B.$\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4$

答案： 2.C

3. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$AC$ 交 $BD$ 于点 $O$，$DE\perp BC$ 于点 $E$，连接 $OE$，若 $\angle ABC = 140^{\circ}$，则 $\angle OED=$____。

答案： 3.20°

4. 在矩形纸片 $ABCD$ 中，已知 $AD = 8$，$AB = 6$，点 $E$ 是边 $BC$ 上的一点，以 $AE$ 为折痕折叠纸片，使点 $B$ 落在点 $F$ 处，连接 $FC$，当 $\triangle EFC$ 为直角三角形时，$BE$ 的长为____。

答案： 4.3或6

5. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 $ABOC$ 的两边分别在 $x$ 轴、$y$ 轴的正半轴上，点 $D$，$E$ 分别为 $OB$，$OC$ 的中点，连接 $AD$，$AE$，分别过点 $D$，$E$ 作 $AE$，$AD$ 的平行线，两线相交于点 $F$，已知 $OB = 8$。

(1) 求证：四边形 $AEFD$ 为菱形。
(2) 求四边形 $AEFD$ 的面积。

答案： 5.
(1)证明：
∵AE//DF，AD//EF，
∴四边形AEFD是平行四边形.
∵四边形ABOC是正方形，
∴AC=AB=OC=OB，∠ACE=∠ABD=90°.
∵点E，D分别是OC，OB的中点，
∴CE=BD，
∴△CAE≌△BAD(SAS)，
∴AE=AD，
∴四边形AEFD是菱形.
(2)解：连接DE.
∵S△ADB=S△ACE=$\frac{1}{2}$×8×4=16，S△EOD=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
∴S△AED=S正方形ABOC−2S△ADB−S△EOD=8×8−2×16−8=24，
∴S菱形AEFD=2S△AED=48.