《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

1. 已知反比例函数 $ y = \frac{b}{x} $（$ b $ 为常数），当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，则一次函数 $ y = x + b $ 的图象不经过（ ）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 1.B

2. 如图，在平面直角坐标系中，点 $ A $ 在函数 $ y = \frac{4}{x} $（$ x ＞ 0 $）的图象上，$ AB \perp x $ 轴于点 $ B $，$ AB $ 的垂直平分线与 $ y $ 轴交于点 $ C $，与函数 $ y = \frac{4}{x} $（$ x ＞ 0 $）的图象交于点 $ D $。连接 $ AC $，$ CB $，$ BD $，$ DA $，则四边形 $ ACBD $ 的面积等于（ ）

A.2
B.$ 2\sqrt{3} $
C.4
D.$ 4\sqrt{3} $

答案： 2.C

3. 如图，$ P(m,m) $ 是反比例函数 $ y = \frac{9}{x} $ 在第一象限内的图象上一点，以 $ P $ 为顶点作等边三角形 $ PAB $，使 $ AB $ 落在 $ x $ 轴上，则 $ \triangle POB $ 的面积为（ ）

A.$ \frac{9}{2} $
B.$ 3\sqrt{3} $
C.$ \frac{9 + 12\sqrt{3}}{4} $
D.$ \frac{9 + 3\sqrt{3}}{2} $

答案： 3.D

4. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，直线 $ y = x $ 与双曲线 $ y = \frac{m}{x} $ 交于 $ A $，$ B $ 两点。若点 $ A $，$ B $ 的纵坐标分别为 $ y_1 $，$ y_2 $，则 $ y_1 + y_2 $ 的值为______。

答案： 4.0

5. 如图，已知双曲线 $ y = \frac{k}{x} $ 和直线 $ y = mx + n $ 交于点 $ A $，$ B $，点 $ B $ 的坐标是 $ (2,-3) $，$ AC $ 垂直 $ y $ 轴于点 $ C $，$ AC = \frac{3}{2} $。
（1）求双曲线和直线的表达式。
（2）求 $ \triangle AOB $ 的面积。

答案： 5.解：
(1)
∵点B(2,-3)在双曲线上，
∴$\frac{k}{2}$=-3，解得
k=-6，
∴双曲线的表达式为$y = -\frac{6}{x}$
∵AC=$\frac{3}{2}$
∴点A的横坐标是$-\frac{3}{2}$
∵点A在双曲线上，
∴$y =-\frac{6}{-\frac{3}{2}}=4$，
∴点A的坐标是$(-\frac{3}{2},4)$
∵点A,B在
直线y=mx+n上，
∴$\begin{cases} -\frac{3}{2}m + n = 4, \\ 2m + n = -3, \end{cases}$
解得$\begin{cases} m = -2, \\ n = 1. \end{cases}$
∴直线的表达式为y=-2x+1.
(2)设直线
与x轴的交点为点D.当y=0时，-2x+1=0，解得
$x=\frac{1}{2}$，
∴点D的坐标为$(\frac{1}{2},0)$
∴OD=$\frac{1}{2}$.
∴$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOD}+S_{\triangle BOD}=\frac{1}{2} × \frac{1}{2} × 4 + \frac{1}{2} × \frac{1}{2} ×3=1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}$