《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

3. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 $7$ 天，每天安排 $4$ 场比赛。设比赛组织者应邀请 $x$ 个队参赛，则 $x$ 满足的关系式为（ ）

A.$\frac{1}{2}x(x + 1)=28$
B.$\frac{1}{2}x(x - 1)=28$
C.$x(x + 1)=28$
D.$x(x - 1)=28$

答案： 3.B

4. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+x + c = 0$ 的两根分别为 $-1$，$2$，则方程 $cx^{2}-x + a = 0$ 的两根为______。

答案： $4.x_{1}=-\frac{1}{2},x_{2}=1$

5. 若正数 $a$ 是一元二次方程 $x^{2}-5x + m = 0$ 的一个根，$-a$ 是一元二次方程 $x^{2}+5x - m = 0$ 的一个根，则 $a$ 的值是______。

答案： 5.5

6. 如图，在一块长 $12m$、宽 $8m$ 的矩形空地上，修建两条同样宽的互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为 $77m^{2}$，设道路的宽为 $x m$，则根据题意，可列方程为______。

答案： 6.(12 - x)(8 - x) = 77

7. 解方程：
(1) $x^{2}-7x + 6 = 0$；
(2) $(x + 1)(x + 2)=2x + 4$；
(3) $(x + \sqrt{3})^{2}=4\sqrt{3}x$。

答案： $7.(1)x_{1}=1,x_{2}=6 (2)x_{1}=1,x_{2}=-2$
$(3)x_{1}=x_{2}=\sqrt{3}$

8. 某商贸公司以每千克 $40$ 元的价格购进一种干果，计划以每千克 $60$ 元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售。已知这种干果的销售量 $y(kg)$ 与每千克降价 $x$（元）$(0 ＜ x ＜ 20)$ 之间满足一次函数关系，其图象如图所示。
(1) 求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式。
(2) 该商贸公司要想获利 $2090$ 元，则这种干果每千克应降价多少元？

答案： 8.解：
(1)设y与x之间的函数关系式为y = kx + b，将点(2,120)，(4,140)分别代入，得$\begin{cases}2k + b = 120,\\4k + b = 140,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 10,\\b = 100.\end{cases}$
$\therefore y$与x之间的函数关系式为y = 10x + 100.
(2)由题意，得(60 - 40 - x)·(10x + 100) = 2090.整理，得$x^{2} - 10x + 9 = 0，$解得$x_{1} = 1，$$x_{2} = 9.$
$\because$要让顾客得到更大的实惠，$\therefore x = 9.$答：这种干果每千克应降价9元.

9. 如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形，并解答有关问题：
(1) 铺设地面所用瓷砖的总块数为______（用含 $n$ 的代数式表示，$n$ 表示第 $n$ 个图形）。
(2) 按上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了 $506$ 块瓷砖，求此时 $n$ 的值。
(3) 是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明。

答案： $9.(1)n^{2} + 5n + 6[$或(n + 2)(n + 3)]
(2)解：根据题意，
得$n^{2} + 5n + 6 = 506，$解得$n_{1} = 20，$$n_{2} = -25($不符合题意，舍去$).\therefore n$的值为20.
(3)解：根据题意，得n(n + 1) = 2(2n + 3)，解得$n = \frac{3\pm\sqrt{33}}{2}($不符合题意，舍去)，$\therefore$不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形.