《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

1. 若菱形 $ABCD$ 的一条对角线的长为 $8$，边 $CD$ 的长是方程 $x^{2}-10x + 24 = 0$ 的一个根，则该菱形 $ABCD$ 的周长为（ ）

A.$16$
B.$24$
C.$16$ 或 $24$
D.$48$

答案： 1.B

2. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB＞AD$，$\angle DAB$ 的平分线与 $CD$ 交于点 $E$，过点 $C$ 作 $CF\perp AE$ 于点 $F$，连接 $BF$，$DF$。有下列结论：① $DE = BC$；② $DF = BF$；③ $\angle CDF=\angle CBF$；④ $B$，$C$，$D$，$F$ 四点在同一个圆上。其中正确结论的个数为（ ）

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： 2.D

3. 如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$，点 $H$ 在 $CD$ 的延长线上，四边形 $CEFH$ 也为正方形，则 $\triangle DBF$ 的面积为（ ）

A.$4$
B.$\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$2$

答案： 3.D

4. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 8$，点 $E$ 是 $AD$ 上的一点，$AE = 4$，$BE$ 的垂直平分线交 $BC$ 的延长线于点 $F$，连接 $EF$ 交 $CD$ 于点 $G$，若 $G$ 是 $CD$ 的中点，则 $BC$ 的长是______。

答案： 4.7

5. 正方形 $ABCD$ 的边长为 $3\mathrm{cm}$，$E$ 为 $CD$ 边上一点，$\angle DAE = 30^{\circ}$，$M$ 为 $AE$ 的中点，过点 $M$ 作直线分别与 $AD$，$BC$ 交于点 $P$，$Q$。若 $PQ = AE$，则 $AP$ 等于______。

答案： 5.1cm或2cm

6. 如图，四边形 $ABCD$ 是菱形，$DE\perp AB$ 交 $BA$ 的延长线于点 $E$，$DF\perp BC$ 交 $BC$ 的延长线于点 $F$。求证：$DE = DF$。

答案： 6.证明:连接DB.
∵四边形ABCD是菱形,
∴BD平分∠ABC.又
∵DE⊥AB,DF⊥BC,
∴DE=DF.