《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

知识梳理
如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，如果锐角 $A$ 确定，那么 $\angle A$ 的对边与______的比便随之确定，这个比叫作 $\angle A$ 的正切，记作 $\tan A$，即 $\tan A =$______。当锐角 $A$ 变化时，$\tan A$ 的值也随之______。$\tan A$ 的值越大，梯子越______。

答案： 邻边 $\frac{\angle A的对边}{\angle A的邻边}$ 变化 陡

1. 如图，$P$ 是 $\angle \alpha$ 的边 $OA$ 上一点，点 $P$ 的坐标为 $(12,5)$，则 $\tan \alpha$ 的值为（ ）

A.$\frac{5}{13}$
B.$\frac{12}{13}$
C.$\frac{5}{12}$
D.$\frac{12}{5}$

答案： 1.C

2. 如图，$\triangle ABC$ 的顶点都在正方形网格线的交点处，则 $\tan A$ 的值为（ ）

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$2$
D.$2\sqrt{2}$

答案： 2.A

3. 如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，矩形 $OABC$ 按如图方式放置，点 $A$，$C$ 分别在 $x$ 轴、$y$ 轴上，将 $OB$ 绕点 $O$ 逆时针旋转到 $OB'$，使得点 $B'$ 落在 $x$ 轴的负半轴上，连接 $BB'$，交 $y$ 轴于点 $D$。若 $AB = 3$，$\tan \angle BOA = \frac{3}{4}$，则点 $D$ 的纵坐标是（ ）

A.$2$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{5}{3}$
D.$\frac{7}{3}$

答案： 3.C

4. 在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 5$，$BC = 13$，$AD$ 是边 $BC$ 上的高，$AD = 4$，则 $\tan C$ 的值为______。

答案： 4.$\frac{2}{5}$或$\frac{1}{4}$

5. 若三角形三边的比是 $25:24:7$，则最小角的正切值是______。

答案： 5.$\frac{7}{24}$

6. 正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$，点 $P$ 是直线 $CD$ 上一点，若 $DP = 1$，则 $\tan \angle BPC$ 的值是______。

答案： 6.2或$\frac{2}{3}$

7. 如图，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽 $6m$，坝高 $24m$，斜坡 $AB$ 的坡角为 $45^{\circ}$，斜坡 $CD$ 的坡比 $i = 1:2$，则坝底宽 $BC$ 为多少米？

答案： 7.解：分别过点A，D作BC的垂线，垂足分别为点E，F.$\therefore EF=AD=6$m，$AE=DF=24$m.$\because\angle B=45^{\circ}$，$\therefore BE=AE=24$m.$\because$斜坡CD的坡比$i=1:2$，$\therefore FC=2DF=2×24=48$(m)，$\therefore BC=BE+EF+FC=24+6+48=78$(m).