《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

7. 阅读下面材料：
小腾遇到这样一个问题：如图 1，在 $ \triangle ABC $ 中，点 $ D $ 在线段 $ BC $ 上，$ \angle BAD = 75^{\circ} $，$ \angle CAD = 30^{\circ} $，$ AD = 2 $，$ BD = 2DC $，求 $ AC $ 的长.
小腾发现，过点 $ C $ 作 $ CE // AB $，交 $ AD $ 的延长线于点 $ E $，通过构造 $ \triangle ACE $，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图 2）.
请回答：$ \angle ACE $ 的度数为____，$ AC $ 的长为____.
参考小腾思考问题的方法，解决问题：
如图 3，在四边形 $ ABCD $ 中，$ \angle BAC = 90^{\circ} $，$ \angle CAD = 30^{\circ} $，$ \angle ADC = 75^{\circ} $，$ AC $ 与 $ BD $ 交于点 $ E $，$ AE = 2 $，$ BE = 2ED $，求 $ BC $ 的长.

答案： 7.$75^{\circ}$ 3
解：过点 $D$ 作 $DF \perp AC$ 于点 $F$.$\because \angle BAC = 90^{\circ} = \angle DFA$，$\therefore AB // DF$，$\therefore \triangle ABE \sim \triangle FDE$，$\therefore \frac{AB}{FD} = \frac{AE}{FE} = \frac{BE}{DE} = 2$，$\therefore EF = 1$，$AB = 2DF$.在$\triangle ACD$ 中，
$\angle CAD = 30^{\circ}$，$\angle ADC = 75^{\circ}$，$\therefore \angle ACD = 75^{\circ}$，$\therefore AC = AD$.$\because DF \perp AC$，$\therefore \angle AFD = 90^{\circ}$.在$\triangle AFD$ 中，$AF = 2 + 1 = 3$，$\angle FAD = 30^{\circ}$，$\therefore DF = \sqrt{3}$，$AD = 2DF = 2\sqrt{3}$.
$\therefore AC = AD = 2\sqrt{3}$，$AB = 2DF = 2\sqrt{3}$.$\therefore BC = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}} = 2\sqrt{6}$.

8. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle BAC $ 的平分线与 $ \triangle ABC $ 的外角 $ \angle DAC $ 的平分线分别交 $ BC $ 及 $ BC $ 的延长线于点 $ P $，$ Q $.
(1) 求 $ \angle PAQ $ 的度数.
(2) 若点 $ M $ 为 $ PQ $ 的中点，连接 $ AM $，求证：$ PM^{2} = CM · BM $.

答案： 8.
(1)解：$\because AP$ 平分 $\angle BAC$，$\therefore \angle PAC = \frac{1}{2} \angle BAC$.
$\because AQ$ 平分 $\angle CAD$，$\therefore \angle CAQ = \frac{1}{2} \angle CAD$.
$\therefore \angle PAC + \angle CAQ = \frac{1}{2} \angle BAC + \frac{1}{2} \angle CAD = \frac{1}{2}(\angle BAC + \angle CAD)$.又$\because \angle BAC + \angle CAD = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle PAC + \angle CAQ = 90^{\circ}$，即 $\angle PAQ = 90^{\circ}$.
(2)证明：由
(1)知，$\angle PAQ = 90^{\circ}$.$\because$点 $M$ 是线段 $PQ$ 的中
点，$\therefore PM = AM$.$\therefore \angle APM = \angle PAM$.$\because \angle APM = \angle B + \angle BAP$，$\angle PAM = \angle CAM + \angle PAC$，$\angle BAP = \angle PAC$，$\therefore \angle B = \angle CAM$.又$\because \angle AMC = \angle BMA$，
$\therefore \triangle ACM \sim \triangle BAM$，$\therefore \frac{CM}{AM} = \frac{AM}{BM}$，$\therefore AM^{2} = CM · BM$，即 $PM^{2} = CM · BM$.