《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

2. 如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$，点 $E$ 在边 $AB$ 上.四边形 $EFGB$ 也是正方形，设$\triangle AFC$ 的面积为 $S$，则（ ）

A.$S = 2$
B.$S = 2.4$
C.$S = 4$
D.$S$ 与 $BE$ 长度有关

答案： 2.A

3. 如图，$E$，$F$ 是正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 上的两点，$AC = 8$，$AE = CF = 2$，则四边形 $BEDF$ 的周长是____.

答案： $3.8\sqrt{5}$

4. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $F$ 为 $CD$ 上一点，$BF$ 与 $AC$ 交于点 $E$，连接 $DE$.若$\angle CBF = 20^{\circ}$，则$\angle AED=$____$^{\circ}$.

答案： 4.65

5. 如图，已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $4$，$P$ 是对角线 $BD$ 上一点，$PE\perp BC$ 于点 $E$，$PF\perp CD$ 于点 $F$，连接 $AP$，$EF$.给出下列结论：①$PD = \sqrt{2}DF$；②四边形 $PECF$ 的周长为 $8$；③$EF$ 的最小值为 $2$；④$AP\perp EF$.其中正确结论的序号为____.

答案： 5.①②④

6. 如图，点 $M$，$N$ 分别在正方形 $ABCD$ 的边 $BC$，$CD$ 上，且$\angle MAN = 45^{\circ}$.把$\triangle ADN$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$得到$\triangle ABE$.
(1) 求证：$\triangle AEM\cong\triangle ANM$.
(2) 若 $BM = 3$，$DN = 2$，求正方形 $ABCD$ 的边长.

答案： 6.
(1)证明：由旋转的性质知，△ADN≌△ABE，
∴∠DAN=∠BAE，AN=AE，DN=BE.
∵∠DAB=90°，∠MAN=45°，
∴∠MAE=∠BAE+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45°，
∴∠MAE=∠MAN.又
∵MA=MA，
∴△AEM≌△ANM(SAS).
(2)解：设CD=BC=x，
则CM=x-3，CN=x-2.
∵△AEM≌△ANM，
∴EM=NM.
∵BE=DN，
∴MN=EM=BM+DN=5.
∵∠C=90°，
∴MN²=CN²+CM²，
∴25=(x-2)²+
(x-3)²，解得x=6或x=-1(舍去).
∴正方形
ABCD的边长为6.

知识梳理
1. 对角线____的菱形是正方形；对角线____的矩形是正方形；有一个角是____的菱形是正方形.
2. 正方形是轴对称图形，有____条对称轴.
3. 以矩形各边的中点为顶点的四边形是____；以菱形各边的中点为顶点的四边形是____；以正方形各边的中点为顶点的四边形是____.

答案： 1.相等 垂直 直角 2.4 3.菱形 矩形 正方形