《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

7. 如图，在矩形$ABCD$中，$AF$平分$\angle BAD$交$BC$于点$E$，交$DC$的延长线于点$F$，点$G$为$EF$的中点，连接$DG$.
(1) 求证：$BC = DF$.
(2) 连接$BD$，求$BD:DG$的值.

答案： 7.
(1)证明：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD = BC，∠BAD = ∠ADC = 90°.
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF = 45°，
∴AD = DF，
∴BC = DF.
(2)解：连接CG，BG.
∵∠BCD = 90°，
∴∠ECF = 90°.
∵∠DAF = 45°，
∴∠F = 45°.
∴CF = CE.
∵点G为EF的中点，
∴GF = CG，∠F = ∠BCG = 45°.在△BCG与△DFG中，$\begin{cases}BC = DF,\\∠BCG = ∠F,\\CG = FG,\end{cases}$
∴BG = DG，∠CBG = ∠FDG，
∴∠CBG + ∠CBD + ∠BDG = ∠FDG + ∠BDG + ∠CBD = 90°，
∴∠BGD = 90°，
∴△BDG为等腰直角三角形，
∴$BD = \sqrt{2}DG，$
∴$BD:DG = \sqrt{2}.$

知识梳理
1. 对角线___的平行四边形是矩形.
2. 有三个角是___的四边形是矩形.

答案： 1.相等 2.直角

1. 如图，已知$□ ABCD$的对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，则下列结论中，不正确的是（ ）

A.当$AB\perp AD$时，四边形$ABCD$是矩形
B.当$AC\perp BD$时，四边形$ABCD$是菱形
C.当$OA = OB$时，四边形$ABCD$是矩形
D.当$AB = AC$时，四边形$ABCD$是菱形

答案： 1.D

2. 如图，已知点$E$，$F$，$G$，$H$分别是菱形$ABCD$各边的中点，则四边形$EFGH$是（ ）

A.正方形
B.矩形
C.菱形
D.平行四边形

答案： 2.B

3. 已知$□ ABCD$，$AC$，$BD$是它的两条对角线，下列条件能判断这个平行四边形为矩形的是（ ）

A.$\angle BAC=\angle DCA$
B.$\angle BAC=\angle DAC$
C.$\angle BAC=\angle ABD$
D.$\angle BAC=\angle ADB$

答案： 3.C