《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$DE// BC$，$EF// AB$，要判定四边形$DBFE$是菱形，还需要添加的条件是（ ）

A.$AB = AC$
B.$AD = BD$
C.$BE\perp AC$
D.$BE$平分$\angle ABC$

答案： 2.D

3. 如图，点$E$在菱形$ABCD$的边$AB$上，点$F$在边$BC$的延长线上，连接$CE$，$DF$.有下列条件：①$BE = CF$；②$CE\perp AB$，$DF\perp BC$；③$CE = DF$；④$\angle BCE=\angle CDF$.若只添加其中一个条件，则不能判定$\triangle BCE\cong\triangle CDF$的是（ ）

A.①
B.②
C.③
D.④

答案： 3.C

4. 如图，菱形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，按下列步骤作图：
①分别以点$C$，$D$为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧，两弧的交点分别为点$E$，$F$；
②过点$E$，$F$作直线$EF$，交$CD$于点$P$；
③连接$OP$.
若$OP = 1.5$，则菱形$ABCD$的周长为_______.

答案： 4.12

5. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 4$，$BC = 3$，$D$为斜边$AB$上一点，以$CD$，$CB$为边作$□ CDEB$，当$AD =$________时，$□ CDEB$为菱形.

答案： $5.\frac{7}{5}$

6. 如图，四边形$ABCD$为菱形，$\angle ABC = 80^{\circ}$，延长$BC$到点$E$，在$\angle DCE$内作射线$CM$，使得$\angle ECM = 30^{\circ}$，过点$D$作$DF\perp CM$，垂足为点$F$.若$DF = 3$，则对角线$BD$的长为_______.

答案： 6.6

7. 如图，在四边形$ABCD$中，$AB// DC$，$AB = AD$，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$AC$平分$\angle BAD$，过点$C$作$CE\perp AB$交$AB$的延长线于点$E$，连接$OE$.
（1）求证：四边形$ABCD$是菱形.
（2）若$AB=\sqrt{5}$，$BD = 2$，求$OE$的长.

答案： 7.
(1)证明：
∵AB//CD，
∴∠OAB=∠DCA.
∵AC平分∠BAD，
∴∠OAB=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴CD=AD=AB.又
∵AB//DC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AD=AB，
∴□ABCD是菱形.
(2)解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，BD⊥AC.
∵CE⊥AB，
∴OE=OA=OC.
∵BD=2，
∴$OB=\frac{1}{2}BD=1.$
∵在Rt△AOB中，$AB=\sqrt{5}，$OB=1，
∴$OA=\sqrt{AB^{2}-OB^{2}}=2，$
∴OE=OA=2.