《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

6. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = 8 $，$ BC = 16 $，点 $ P $ 从点 $ A $ 开始沿 $ AB $ 边向点 $ B $ 以每秒 2 个单位长度的速度移动，点 $ Q $ 从点 $ B $ 开始沿 $ BC $ 边向点 $ C $ 以每秒 4 个单位长度的速度移动，如果点 $ P $，$ Q $ 分别从点 $ A $，$ B $ 同时出发，经过____s，$ \triangle PBQ $ 与 $ \triangle ABC $ 相似.

答案： 6.2或$\frac{4}{5}$

7. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，点 $ D $，$ G $ 分别在边 $ AB $，$ BC $ 上，$ \angle ACD = \angle B $，$ AG $ 与 $ CD $ 相交于点 $ F $.
(1) 求证：$ AC^2 = AD · AB $.
(2) 若 $ \frac{AD}{AC} = \frac{DF}{CG} $，求证：$ CG^2 = DF · BG $.

答案： 7.证明：
(1)$\because\angle ACD=\angle B$，$\angle CAD=\angle BAC$，$\therefore\triangle ACD\sim\triangle ABC$，$\therefore\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，$\therefore AC^{2}=AD· AB$。
(2)$\because\triangle ACD\sim\triangle ABC$，$\therefore\angle ADC=\angle ACB$，即$\angle ADF=\angle ACG$。
又$\because\frac{AD}{AC}=\frac{DF}{CG}$，$\therefore\triangle ADF\sim\triangle ACG$，$\therefore\angle DAF=\angle CAG$，即$\angle BAG=\angle CAG$.过点 B 作$BE// AC$，交
AG 的延长线于点 E，则$\angle E=\angle CAG$.又$\because\angle CGA=\angle BGE$，$\therefore\triangle ACG\sim\triangle EBG$，$\therefore\frac{AC}{EB}=\frac{CG}{BG}$.又$\because\angle BAG=\angle CAG$，$\therefore\angle BAG=\angle E$，$\therefore AB = BE$。$\therefore\frac{AC}{AB}=\frac{CG}{BG}$
又$\because\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，$\therefore\frac{DF}{CG}=\frac{CG}{BG}$，$\therefore CG^{2}=DF· BG$。

知识梳理
三边____的两个三角形相似.

答案： 成比例

1. 如图，已知等边三角形 $ ABC $，点 $ D $，$ E $ 分别是边 $ BC $，$ AC $ 上的动点，$ BD = CE $，则图中相似的三角形有（ ）

A.3 对
B.4 对
C.5 对
D.6 对

答案： 1.D

2. 如图，在正方形网格上，若使 $ \triangle ABC \sim \triangle PBD $，则点 $ P $ 应在（ ）

A.$ P_1 $ 处
B.$ P_2 $ 处
C.$ P_3 $ 处
D.$ P_4 $ 处

答案： 2.C

3. 如图，在等边三角形 $ ABC $ 中，点 $ D $，$ E $ 分别在 $ AC $，$ AB $ 上，且 $ \frac{AD}{AC} = \frac{1}{3} $，$ AE = BE $，则有（ ）

A.$ \triangle AED \sim \triangle BED $
B.$ \triangle AED \sim \triangle CBD $
C.$ \triangle AED \sim \triangle ABD $
D.$ \triangle BAD \sim \triangle BCD $

答案： 3.B