《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

3. 如图，直线 $ y = \dfrac{1}{2}x + 1 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $，与 $ y $ 轴交于点 $ B $，$ \triangle BOC $ 与 $ \triangle B'O'C' $ 是以点 $ A $ 为位似中心的位似图形，且相似比为 $ 1 : 3 $，则点 $ B $ 的对应点 $ B' $ 的坐标为________。

答案： 3.(-8,-3)或(4,3)

4. 如图，将边长为 $ 6 cm $ 的正方形 $ ABCD $ 折叠，使点 $ D $ 落在 $ AB $ 边的中点 $ E $ 处，折痕为 $ FH $，点 $ C $ 落在点 $ Q $ 处，$ EQ $ 与 $ BC $ 交于点 $ G $，则 $ \triangle EBG $ 的周长是________ $ cm $。

答案： 4.12

5. 如图，$ \triangle ABC $ 三个顶点的坐标分别为 $ A(0,3) $，$ B(3,4) $，$ C(2,2) $(正方形网格中每个小正方形的边长是 $ 1 $ 个单位长度)。
(1)画出 $ \triangle ABC $ 向下平移 $ 4 $ 个单位长度得到的 $ \triangle A_{1}B_{1}C_{1} $，其中点 $ C_{1} $ 的坐标是________。
(2)以点 $ B $ 为位似中心，在网格内画出 $ \triangle A_{2}B_{2}C_{2} $，使 $ \triangle A_{2}B_{2}C_{2} $ 与 $ \triangle ABC $ 位似，且位似比为 $ 2 : 1 $，其中点 $ C_{2} $ 的坐标是________。
(3)$ \triangle A_{2}B_{2}C_{2} $ 的面积是________个平方单位。

答案： 5.
(1)图略 (2,-2)
(2)图略 (1,0)
(3)10

6. 如图，点 $ E $ 是矩形 $ ABCD $ 的边 $ CB $ 上的一点，$ AF \perp DE $ 于点 $ F $，$ AB = 3 $，$ AD = 2 $，$ CE = 1 $。求 $ DF $ 的长度。

答案： 6.解：
∵四边形ABCD是矩形,
∴DC = AB = 3,∠ADC =∠C = 90°.
∵CE = 1,
∴$DE = \sqrt{DC^{2}+CE^{2}} = \sqrt{10}.$
∵AF⊥DE,
∴∠AFD = 90° = ∠C,∠ADF + ∠DAF = 90°.又
∵∠ADF + ∠EDC = 90°,
∴∠EDC = ∠DAF,
∴△EDC∽△DAF,
∴$\frac{DE}{AD} = \frac{CE}{FD},$即$\frac{\sqrt{10}}{2} = \frac{1}{FD},$解得$FD = \frac{\sqrt{10}}{5},$即DF的长度为$\frac{\sqrt{10}}{5}.$

7. 如图，正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ 1 $，$ AB $ 边上有一动点 $ P $，连接 $ PD $，线段 $ PD $ 绕点 $ P $ 顺时针旋转 $ 90^{\circ} $ 后，得到线段 $ PE $，且 $ PE $ 交 $ BC $ 于点 $ F $，连接 $ DF $，过点 $ E $ 作 $ EQ \perp AB $ 交 $ AB $ 的延长线于点 $ Q $。
（1）求线段 $ PQ $ 的长。
（2）点 $ P $ 在何处时，$ \triangle PFD \sim \triangle BFP $？

答案： 7.解：
(1)根据题意,得PD = PE,∠DPE = 90°,
∴∠APD + ∠QPE = 90°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A = 90°,
∴∠ADP + ∠APD = 90°,
∴∠ADP =∠QPE.
∵EQ⊥AB,
∴∠A = ∠Q = 90°.在△ADP和△QPE中$,\begin{cases}∠A = ∠Q,∠ADP = ∠QPE,PD = PE,\end{cases}(AAS),$
∴PQ = AD = 1.
(2)
∵△PFD∽△BFP,
∴$\frac{PB}{BF} = \frac{PD}{PF}.$
∵∠ADP =∠EPB,∠CBP = ∠A,
∴△DAP∽△PBF,
∴$\frac{PD}{PF} = \frac{AP}{BF},$
∴$\frac{AP}{BF} = \frac{PB}{BF},$
∴PA = PB,
∴$PA = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.$
∴当$PA = \frac{1}{2}$时,△PFD∽△BFP.