《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

7. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AB = 5\ cm$，$BC = 7\ cm$.点 $P$ 从点 $A$ 开始沿 $AB$ 边以 $1\ cm/s$ 的速度向点 $B$ 移动，点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿 $BC$ 边以 $2\ cm/s$ 的速度向点 $C$ 移动.
（1）如果点 $P$，$Q$ 分别从点 $A$，$B$ 同时出发，那么几秒时，$\triangle PBQ$ 的面积等于 $4\ cm^{2}$？
（2）如果点 $P$，$Q$ 分别从点 $A$，$B$ 同时出发，$\triangle PBQ$ 的面积能否等于 $7\ cm^{2}$？

答案： 7.解：
(1)设x s时，△PBQ的面积为4 $cm^2$，则$\frac{1}{2} × 2x × (5 - x) = 4$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = 4$. 当x = 4时，2x = 8(cm) ＞ 7 cm，不符合题意，舍去，
∴x = 1. 即1 s时，△PBQ的面积等于4 $cm^2$.
(2)设y s时，△PBQ的面积等于7 $cm^2$.由题意，得$\frac{1}{2} × 2y × (5 - y) = 7$，即$y^2 - 5y + 7 = 0$.
∵$\Delta = (-5)^2 - 4 × 7 ＜ 0$，
∴此方程无实数根.
∴△PBQ的面积不能等于7 $cm^2$.

知识梳理
应用一元二次方程解应用题，在检验时，一要检验________，二要检验________.

答案： 所求的解是否是所列方程的根 所求的解是否符合实际

1. 股票每天的涨幅、跌幅均不超过 $10\%$，即当涨了原价的 $10\%$ 后，便不能再涨，叫作涨停；当跌了原价的 $10\%$ 后，便不能再跌，叫作跌停.已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为 $x$，则 $x$ 满足的方程是（ ）

A.$(1 + x)^{2} = \frac{11}{10}$
B.$(1 + x)^{2} = \frac{10}{9}$
C.$1 + 2x = \frac{11}{10}$
D.$1 + 2x = \frac{10}{9}$

答案： 1.B

2. 如图，某小区有一块长为 $18\ m$，宽为 $6\ m$ 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 $60\ m^{2}$，两块绿地之间及其周边留有宽度相等的人行通道.若设人行通道的宽为 $x\ m$，则可以列出关于 $x$ 的方程是（ ）

A.$x^{2} + 9x - 8 = 0$
B.$x^{2} - 9x - 8 = 0$
C.$x^{2} - 9x + 8 = 0$
D.$2x^{2} - 9x + 8 = 0$

答案： 2.C

3. 为了解决百姓看病难的问题，国家决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价后，药价从原来每盒 60 元降至现在 48.6 元，则平均每次降价的百分率是______ $\%$.

答案： 3.10

4. 世纪百货大楼某品牌童装平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元.为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施.经调查，如果每件童装降价 1 元，那么平均每天就可多售出 2 件.要想平均每天销售这种童装盈利 1200 元，则每件童装应降价多少元？设每件童装应降价 $x$ 元，可列方程为________.

答案： 4.(40 - x)(20 + 2x) = 1200

5. 商店销售某种商品，经调查发现，平均每天销售 40 件，每件盈利 20 元，若每件商品每降价 1 元，则每天可多销售 10 件.如果每天要盈利 1080 元，同时又要使顾客得到更多的实惠，则每件商品应降价多少元？

答案： 5.解：设每件商品降价x元，则降价后每件盈利(20 - x)元，每天销售的数量为(40 + 10x)件. 根据题意，得(20 - x)(40 + 10x) = 1080.整理，得$(x - 2)(x - 14) = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = 14$.
∵要使顾客得到更多的实惠，
∴应取x = 14.答：每件商品应降价14元.