《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

3.下面是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是　　　　(　　)
$解：x^{2}-4x = 1$，…………………①
$x^{2}-4x + 4 = 1$，…………………②
$(x - 2)^{2}=1$，…………………③
$x - 2 = \pm1$，…………………④
$x_{1} = 3$，$x_{2} = 1.$…………………⑤

A.②　　
B.③　　
C.④　　
D.⑤

答案： 3.A

4.填写适当的数使下式成立.
(1)$x^{2}+6x+$______$=(x + 3)^{2}$　　(2)$x^{2}-$______$x + 1 = (x - 1)^{2}$
(3)$x^{2}+4x+$______$=(x+$______$)^{2}$　　(4)$x^{2}-px+$______$=(x-$______$)^{2}$

答案： 4.
(1)9
(2)2
(3)4 $2$
(4)$\frac{p^2}{4}$ $\frac{p}{2}$

5.已知$P = \frac{7}{15}m - 1$，$Q = m^{2}-\frac{8}{15}m$（$m$为任意实数），则$P$，$Q$的大小关系为________.

答案： 5.$P ＜ Q$

6.若方程$x^{2}-2x + m = 0$可以配方得$(x - n)^{2}=5$，则方程$x^{2}-2x + m = 3$的解为_______.

答案： 6.$x_1 = 1 + 2\sqrt{2}$,$x_2 = 1 - 2\sqrt{2}$

7.阅读材料：若$m^{2}-2mn + 2n^{2}-4n + 4 = 0$，求$m,n$的值.
解：$\because m^{2}-2mn + 2n^{2}-4n + 4 = 0$，
$\therefore(m^{2}-2mn + n^{2})+(n^{2}-4n + 4)=0$，
$\therefore(m - n)^{2}+(n - 2)^{2}=0$.
$\because(m - n)^{2}\geqslant0$，$(n - 2)^{2}\geqslant0$，
$\therefore(m - n)^{2}=0$，$(n - 2)^{2}=0$.
$\therefore m = 2$，$n = 2$.
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)$a^{2}+b^{2}-6a - 2b + 10 = 0$，则$a =$_______，$b =$______.
(2)已知$x^{2}+2y^{2}-2xy + 8y + 16 = 0$，求$xy$的值.
(3)已知$\bigtriangleup ABC$的三边长$a$，$b$，$c$都是正整数，且满足$2a^{2}+b^{2}-4a - 8b + 18 = 0$，求$\bigtriangleup ABC$的周长.

答案： 7.
(1)3 1
(2)解：$\because x^2 + 2y^2 - 2xy + 8y + 16 = 0$,
$\therefore (x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 + 8y + 16) = 0$,$\therefore (x - y)^2 + (y + 4)^2 = 0$.$\because (x - y)^2 \geq 0$,$(y + 4)^2 \geq 0$,$\therefore (x - y)^2 = 0$,$(y + 4)^2 = 0$,$\therefore x = -4$,$y = -4$.$\therefore xy = -4 × (-4) = 16$.
(3)解：$\because 2a^2 + b^2 - 4a - 8b + 18 = 0$,
$\therefore (2a^2 - 4a + 2) + (b^2 - 8b + 16) = 0$,$\therefore 2(a - 1)^2 + (b - 4)^2 = 0$,$\therefore a = 1$,$b = 4$,$\therefore$边长$c$的取值范围为$3 ＜ c ＜ 5$.$\because a$,$b$,$c$都是正整数,$\therefore$边长$c$的值为4.
$\therefore \triangle ABC$的周长为$1 + 4 + 4 = 9$.

▲知识梳理
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程时，只需将二次项系数化为_______，再根据解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤解此方程即可.

答案： 1