《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

1. 如图，正方形 $ ABCD $ 的边长为 5，点 $ A $ 的坐标为 $ (-4,0) $，点 $ B $ 在 $ y $ 轴上。若反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $（$ k \neq 0 $）的图象经过点 $ C $，则该反比例函数的表达式为______。

答案： 1.$y = \frac{3}{x}$

2. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $ y = -\frac{2}{3}x $ 与直线 $ y = -\frac{2}{3}x + 2 $ 分别与函数 $ y = \frac{k}{x} $（$ x ＜ 0 $）的图象交于 $ A $，$ B $ 两点，连接 $ AB $，$ OB $，若 $ \triangle OAB $ 的面积为 3，则 $ k $ 的值为______。

答案： 2.-6

3. 如图，直线 $ y = k_1x + b $ 与双曲线 $ y = \frac{k_2}{x} $ 交于 $ A $，$ B $ 两点，它们的横坐标分别为 1 和 5，则不等式 $ k_1x ＜ \frac{k_2}{x} + b $ 的解集是______。

答案： 3.$-5 ＜ x ＜ -1$或$x ＞ 0$

4. 如图，$ M $ 为双曲线 $ y = \frac{\sqrt{3}}{x} $ 上的一点，过点 $ M $ 作 $ x $ 轴，$ y $ 轴的垂线，分别交直线 $ y = -x + m $ 于点 $ D $，$ C $，若直线 $ y = -x + m $ 与 $ y $ 轴交于点 $ A $，与 $ x $ 轴交于点 $ B $，则 $ AD · BC $ 的值为______。

答案： 4.$2\sqrt{3}$

5. 如图，正比例函数 $ y = ax $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象交于点 $ A(3,2) $。
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式。
（2）根据图象回答，在第一象限内，当 $ x $ 取何值时，反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的值大于正比例函数 $ y = ax $ 的值？
（3）点 $ M(m,n) $ 是反比例函数图象上的一动点，其中 $ 0 ＜ m ＜ 3 $，过点 $ M $ 作直线 $ MB // x $ 轴，交 $ y $ 轴于点 $ B $；过点 $ A $ 作直线 $ AC // y $ 轴交 $ x $ 轴于点 $ C $，交直线 $ MB $ 于点 $ D $。当四边形 $ OADM $ 的面积为 6 时，请判断 $ BM $ 与 $ DM $ 的数量关系，并说明理由。

答案： 5.解：
(1)将点A(3,2)分别代入$y=\frac{k}{x}$和y=ax中，得
$\frac{k}{3}=2,3a=2$，
∴k=6,$a=\frac{2}{3}$
∴正比例函数的表
达式为$y=\frac{2}{3}x$，反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$.
(2)观
察图象可知，在第一象限内，当$0 ＜ x ＜ 3$时，反比例函
数$y=\frac{6}{x}$的值大于正比例函数$y=\frac{2}{3}x$的值.
(3)BM=
DM.理由如下：
∵$S_{\triangle OMB}=S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2} × |k| = 3$，
∴$S_{矩形OBDC}=S_{四边形OADM}+S_{\triangle OMB}+S_{\triangle OAC}=6 + 3 + 3 =12$，即OC·OB=12.
∵OC=3，
∴OB=4，即n=4，
∴$m=\frac{6}{n}=\frac{3}{2}$，
∴$BM=\frac{3}{2},DM=3 - \frac{3}{2}=\frac{3}{2}$，
∴BM=
DM.