《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

18. （12分）如图，四边形 $ ABCD $ 的四个顶点分别在反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $ 与 $ y = \frac{n}{x} $（$ x ＞ 0 $，$ 0 ＜ m ＜ n $）的图象上，对角线 $ BD // y $ 轴，且 $ BD \perp AC $ 于点 $ P $. 已知点 $ B $ 的横坐标为 $ 4 $.
（1）当 $ m = 4 $，$ n = 20 $ 时.
①若点 $ P $ 的纵坐标为 $ 2 $，求直线 $ AB $ 的表达式.
②若点 $ P $ 是 $ BD $ 的中点，试判断四边形 $ ABCD $ 的形状，并说明理由.
（2）四边形 $ ABCD $ 能否为正方形？若能，请求出此时 $ m $，$ n $ 之间的数量关系；若不能，请说明理由.

答案： 18.解:
(1)①
∵m = 4,
∴反比例函数的表达式为y = $\frac{4}{x}$。
当x = 4时,y = 1,
∴B(4,1);当y = 2时,即$\frac{4}{x}$ = 2,
∴x = 2,
∴A(2,2)。
设直线AB的表达式为y = kx + b,则$\begin{cases}2k + b = 2\\4k + b = 1\end{cases}$,解得$\begin{cases}k = -\frac{1}{2}\\b = 3\end{cases}$。
∴直线AB的表达式为y = −$\frac{1}{2}$x + 3。
②四边形ABCD是菱形。理由如下:
由①知,B(4,1)。
∵BD//y轴,n = 20,
∴D(4,5)。
∵点P是线段BD的中点，
∴P(4,3)。
当y = 3时,由y = $\frac{4}{x}$,得x = $\frac{4}{3}$;由y = $\frac{20}{x}$,得x = $\frac{20}{3}$。
∴A($\frac{4}{3}$,3),C($\frac{20}{3}$,3)。
∴PA = 4 - $\frac{4}{3}$ = $\frac{8}{3}$,PC = $\frac{20}{3}$ - 4 = $\frac{8}{3}$,
∴PA = PC。
又
∵点P是线段BD的中点,
∴四边形ABCD为平行四边形。
又
∵BD⊥AC,
∴四边形ABCD是菱形。
(2)四边形ABCD能为正方形。当四边形ABCD是正方形时,PA = PB = PC = PD。设PA = t(t≠0)。
当x = 4时,y = $\frac{m}{x}$ = $\frac{m}{4}$,
∴B(4,$\frac{m}{4}$),
∴A(4 - t,$\frac{m}{4}$ + t),
∴(4 - t)($\frac{m}{4}$ + t) = m,解得t = 4 - $\frac{m}{4}$。
∴点D的纵坐标为$\frac{m}{4}$ + 2t = 8 - $\frac{m}{4}$,
∴D(4,8 - $\frac{m}{4}$)。
∴4(8 - $\frac{m}{4}$) = n,
∴m + n = 32。

19. （12分）如图，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，函数 $ y = \frac{m}{x} $（$ m $ 为常数，$ m ＞ 1 $，$ x ＞ 0 $）的图象经过点 $ P(m, 1) $ 和 $ Q(1, m) $，直线 $ PQ $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于 $ C $，$ D $ 两点，点 $ M(a, c) $ 是该函数图象上的一个动点，过点 $ M $ 分别作 $ x $ 轴和 $ y $ 轴的垂线，垂足分别为点 $ A $，$ B $.
（1）求 $ \angle OCD $ 的度数.
（2）当 $ m = 3 $，$ 1 ＜ a ＜ 3 $ 时，存在点 $ M $ 使得 $ \triangle OPM \sim \triangle OCP $，求此时点 $ M $ 的坐标.
（3）当 $ m = 5 $ 时，矩形 $ OAMB $ 与 $ \triangle OPQ $ 重叠部分的面积 $ S $ 能否等于 $ 4.1 $？请说明你的理由.

答案：
19.解:
(1)设直线PQ的表达式为y = kx + b,则$\begin{cases}mk + b = 1\\k + b = m\end{cases}$,解得$\begin{cases}k = -1\\b = m + 1\end{cases}$。
∴y = -x + m + 1。
令x = 0,得y = m + 1,
∴D(0,m + 1)。
令y = 0,得x = m + 1,
∴C(m + 1,0)。
∴OC = OD = m + 1。
∵∠COD = 90°,
∴∠OCD = 45°。
(2)
∵M(a,c),m = 3,
∴M(a,$\frac{3}{a}$)。
∵△OPM∽△OCP,
∴$\frac{OP}{OC}$ = $\frac{OM}{OP}$ = $\frac{PM}{CP}$,
∴OP² = OC·OM。
当m = 3时,P(3,1),C(4,0)。
由勾股定理,得OP² = 3² + 1² = 10,OC = 4,OM = $\sqrt{a² + \frac{9}{a²}}$。
∴4$\sqrt{a² + \frac{9}{a²}}$ = 10,
∴a⁴ - $\frac{25}{4}$a² + 9 = 0。
根据题意,1＜a＜3,由此解得a = $\frac{3}{2}$或a = 2。
当a = $\frac{3}{2}$时,M($\frac{3}{2}$,2),
∴PM = $\frac{\sqrt{13}}{2}$,CP = $\sqrt{2}$,$\frac{PM}{CP}$ = $\frac{\sqrt{26}}{4}$≠$\frac{\sqrt{10}}{4}$ = $\frac{OP}{OC}$,
∴a≠$\frac{3}{2}$。
当a = 2时,M(2,$\frac{3}{2}$),
∴PM = $\frac{\sqrt{5}}{2}$,CP = $\sqrt{2}$,OM = $\frac{5}{2}$,$\frac{PM}{CP}$ = $\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{10}}{4}$ = $\frac{OM}{OP}$ = $\frac{OP}{OC}$。
∴点M的坐标为(2,$\frac{3}{2}$)。
(3)不能。理由如下:当m = 5时,P(5,1),Q(1,5),设M(a,$\frac{5}{a}$),易得直线OP的表达式为y = $\frac{1}{5}$x,直线OQ的表达式为y = 5x。
①当1＜a＜5时,如图1,设BM与OQ交于点E,OP与AM交于点F,易得E($\frac{1}{a}$,$\frac{5}{a}$),F(a,$\frac{1}{5}$a)。
∴S = S矩形OAMB - S△OAF - S△OBE = 5 - $\frac{1}{2}$a·$\frac{1}{5}$a - $\frac{1}{2}$·$\frac{1}{a}$·$\frac{5}{a}$ = 4.1。
化简,得a⁴ - 9a² + 25 = 0。
令a² = t,得t² - 9t + 25 = 0。由于△ = 81 - 100 = -19＜0,
∴该方程没有实数根,即该种情况不存在。
②当0＜a≤1时,如图2,设AM与OQ交于点G,AM与OP交于点H,则S = S△OGH＜S△OAM = 2.5≠4.1,
∴不符合题意。
③当a≥5时,如图3,设OQ与BM交于点S,OP与BM交于点T,则S = S△OTS＜S△OBM = 2.5≠4.1,
∴不符合题意。
综上所述，当m = 5时，矩形OAMB与△OPQ重叠部分的面积不能等于4.1。