《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

知识梳理
相似三角形____的比、____的比、____的比都等于相似比.

答案： 对应高 对应角平分线 对应中线

1. 已知两个相似三角形的相似比为 $ 2:3 $，它们对应高的和为 $ 15 $，则这两个三角形的对应高分别为（ ）

A.$ 3 $ 和 $ 12 $
B.$ 5 $ 和 $ 10 $
C.$ 6 $ 和 $ 9 $
D.$ 7 $ 和 $ 8 $

答案： 1.C

2. 若两个三角形相似，且相似比为 $ 1:3 $，则这两个三角形对应角平分线的比为（ ）

A.$ 1:\sqrt{3} $
B.$ 1:3 $
C.$ 1:6 $
D.$ 1:9 $

答案： 2.B

3. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle A = 60^{\circ} $，$ BM \perp AC $ 于点 $ M $，$ CN \perp AB $ 于点 $ N $，$ P $ 为边 $ BC $ 的中点，连接 $ PM $，$ PN $. 有下列结论：① $ PM = PN $；② $ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} $；③ $ \triangle PMN $ 为等边三角形；④ 当 $ \angle ABC = 45^{\circ} $ 时，$ BN = \sqrt{2}PC $. 其中正确的结论有（ ）

A.$ 1 $ 个
B.$ 2 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 4 $ 个

答案： 3.D

4. 如图，在一块长为 $ 8 $、宽为 $ 2\sqrt{3} $ 的矩形中，恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形，且三角形的顶点都在矩形的边上，其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是____.

答案： 4.2

5. 已知 $ \triangle ABC \sim \triangle A'B'C' $，顶点 $ A $，$ B $，$ C $ 分别与顶点 $ A' $，$ B' $，$ C' $ 对应，$ AD $，$ A'D' $ 分别是 $ BC $，$ B'C' $ 边上的中线，如果 $ BC = 3 $，$ AD = 6 $，$ B'C' = 2 $，那么 $ A'D' $ 的长是____.

答案： 5.4

6. 如图，某校宣传栏后面 $ 2 $ m 处种了一排树，其中每隔 $ 2 $ m 种 $ 1 $ 棵树，一共种了 $ 6 $ 棵，小勇站在正对宣传栏中间位置且垂直距离为 $ 3 $ m 处，刚好看到两端树的树干，其余的 $ 4 $ 棵树均被挡住，那么宣传栏的长为____ m.（不计宣传栏的厚度和树的粗细）

答案： 6.6

7. 如图，一块材料的形状是锐角三角形 $ ABC $，边 $ BC = 120 $ mm，高 $ AD = 80 $ mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 $ BC $ 上，其余两个顶点 $ E $，$ F $ 分别在 $ AB $，$ AC $ 上，这个正方形零件的边长是多少？

答案： 7.解：
∵四边形EGHF为正方形，
∴BC//EF，
∴△AEF∽△ABC.设这个正方形零件的边长为$x$mm，则$KD=EF=x$mm，$AK=(80 - x)$mm.
∵$AD\perp BC$，
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{AK}{AD}$，即$\frac{x}{120}=\frac{80 - x}{80}$，解得$x = 48$.
∴这个正方形零件的边长为48mm.