《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

知识梳理
当一元二次方程的一边为______，而另一边易于分解成两个______因式的乘积时，可以用因式分解法解此方程。

答案： 0 一次

1. 方程$(x - 2)(x + 1) = 0$的根是（ ）

A.$x = 2$或$x = - 1$
B.$x = - 2$或$x = 1$
C.$x = - 2$或$x = - 1$
D.$x = 2$或$x = 1$

答案： 1.A

2. 一元二次方程$x^{2} = 2x$的根为（ ）

A.$x = 0$
B.$x = 2$
C.$x = 0$或$x = 2$
D.$x = 0$或$x = - 2$

答案： 2.C

3. 一元二次方程$x(x - 3) = 3 - x$的根是（ ）

A.$x = - 1$
B.$x = 1$或$x = 3$
C.$x = - 1$或$x = 3$
D.$x = 3$

答案： 3.C

4. 若代数式$x^{2} + 4x - 2$的值为$3$，则$x$的值为______________。

答案： 4.-5或1

5. 方程$3x(x + 1) = 3x + 3$的根为______________。

答案： $5.x_1 = 1,x_2 = -1$

6. 已知方程$2x^{2} - px + q = 0$的两个根分别是$2$和$3$，则$2x^{2} - px + q$因式分解的结果是______。

答案： 6.2(x - 2)(x - 3)

7. 用因式分解法解下列方程：
（1）$(x - 3)^{2} + 2x(x - 3) = 0$；
（2）$(x - 1)^{2} - 2(x^{2} - 1) = 0$；
（3）$(2x + 1)^{2} + 2(2x + 1) + 1 = 0$；
（4）$(x + 2)^{2} = 2x + 4$。

答案： $7.(1)x_1 = 3,x_2 = 1 (2)x_1 = 1,x_2 = -3 (3)x_1 = x_2 = -1 (4)x_1 = 0,x_2 = -2$

知识梳理
如果一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 有两个实数根 $x_{1},x_{2}$，那么 $x_{1}+x_{2}=$____，$x_{1}x_{2}=$____。

答案： 知识梳理 $-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$

1. 若 $1-\sqrt{3}$ 是方程 $x^{2}-2x+c = 0$ 的一个根，则 $c$ 的值为（ ）

A.$-2$
B.$4\sqrt{3}-2$
C.$3-\sqrt{3}$
D.$1+\sqrt{3}$

答案： 1.A

2. 关于 $x$ 的方程 $2x^{2}+mx+n = 0$ 的两个根是 $-2$ 和 $1$，则 $n^{m}$ 的值为（ ）

A.$-8$
B.$8$
C.$16$
D.$-16$

答案： 2.C

3. 设 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $x^{2}+5x-3 = 0$ 的两个根，则 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ 的值是（ ）

A.$19$
B.$25$
C.$31$
D.$30$

答案： 3.C

4. 已知 $m$ 和 $n$ 是方程 $2x^{2}-5x-3 = 0$ 的两个根，则 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=$____。

答案： 4.$-\frac{5}{3}$