《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

3. 如图，直线 $ l_{1} // l_{2} // l_{3} $，直线 $ a $，$ b $ 与 $ l_{1} $，$ l_{2} $，$ l_{3} $ 分别相交于点 $ A $，$ B $，$ C $ 和点 $ D $，$ E $，$ F $。若 $ AB = 3 $，$ DE = 2 $，$ BC = 6 $，则 $ EF = $________。

答案： 3.4

4. 在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = 6 $，$ AC = 5 $，点 $ D $ 在边 $ AB $ 上，且 $ AD = 2 $，点 $ E $ 在边 $ AC $ 上，当 $ AE = $________时，以 $ A $，$ D $，$ E $ 为顶点的三角形与 $ \triangle ABC $ 相似。

答案： $4.\frac{12}{5}$或$\frac{5}{3}$

5. 如图，在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle BAC = 90^{\circ} $，$ AD \perp BC $ 于点 $ D $，$ E $ 为直角边 $ AC $ 的中点，过点 $ D $，$ E $ 作直线交 $ AB $ 的延长线于点 $ F $。求证：$ \triangle DBF \sim \triangle ADF $。

答案： 5.证明：
∵∠BAC = 90°,AD⊥BC,
∴∠BAC = ∠ADB = 90°,
∴∠ABC + ∠BAD = 90°,∠ABC + ∠C = 90°,
∴∠C = ∠BAD,即∠C = ∠FAD.
∵E为AC的中点,AD⊥BC,
∴$ED = EC = \frac{1}{2}AC,$
∴∠C = ∠EDC.又
∵∠EDC = ∠FDB,
∴∠FAD = ∠FDB.又
∵∠F =∠F,
∴△DBF∽△ADF.

1. 如图，正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ 2 $，$ BE = CE $，$ MN = 1 $，线段 $ MN $ 的两个端点分别在 $ AD $，$ CD $ 上滑动，当 $ DM $ 为何值时，$ \triangle ABE $ 与以点 $ D $，$ M $，$ N $ 为顶点的三角形相似( )

A.$ \dfrac{\sqrt{5}}{5} $
B.$ \dfrac{2\sqrt{5}}{5} $
C.$ \dfrac{\sqrt{5}}{5} $ 或 $ \dfrac{2\sqrt{5}}{5} $
D.$ \dfrac{2\sqrt{5}}{5} $ 或 $ \dfrac{3\sqrt{5}}{5} $

答案： 1.C

2. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AE $ 交 $ BC $ 于点 $ D $，$ \angle C = \angle E $，$ AD : DE = 3 : 5 $，$ AE = 8 $，$ BD = 4 $，则 $ DC $ 的长等于（ ）

A.$ \dfrac{15}{4} $
B.$ \dfrac{12}{5} $
C.$ \dfrac{20}{3} $
D.$ \dfrac{17}{4} $

答案： 2.A