《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

5. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^{2}+4x + 3 = 0$ 有实数根，则 $k$ 的非负整数值是 ______。

答案： 5.1

6. 三角形的两边长分别为 4 和 7，第三边的长是方程 $x^{2}-8x + 12 = 0$ 的解，则这个三角形的周长是 ______。

答案： 6.17

7. 用公式法解方程：
(1) $4x^{2}+x - 3 = 0$；
(2) $3x^{2}+2x = 4$。

答案： 7.
(1)$x_1 = -1,x_2=\frac{3}{4}$
(2)$x_1=\frac{-1 + \sqrt{13}}{3},x_2=-\frac{1 + \sqrt{13}}{3}$

知识梳理
用公式法解一元二次方程时，要先把原方程化成 ______，然后计算出 ______ 的值，最后写出原方程的解。

答案： 一元二次方程的一般形式；根的判别式

1. 用公式法解方程 $(x + 2)^{2}=6(x + 2)-4$ 时，$b^{2}-4ac$ 的值为（ ）

A.52
B.32
C.20
D.-12

答案： 1.C

2. 请你判断，方程 $x|x|-3|x|+2 = 0$ 的实数根的个数为（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 2.C

3. 定义新运算“$a*b$”：对于任意实数 $a$，$b$，都有 $a*b=(a + b)(a - b)-1$，例如 $4*3=(4 + 3)×(4 - 3)-1 = 7 - 1 = 6$。若 $x*k = x$（$k$ 为实数）是关于 $x$ 的方程，则它的根的情况为（ ）

A.有一个实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.没有实数根

答案： 3.C

4. 等腰三角形的边长是方程 $x^{2}-2\sqrt{2}x + 1 = 0$ 的两个根，则它的周长为 ______。

答案： 4.$3\sqrt{2}+1$

5. 小明设计了一个魔术盒，当任意实数对 $(a,b)$ 进入其中，会得到一个新的实数 $a^{2}-2b + 3$。若将实数对 $(x,-3x)$ 放入其中，得到一个新的实数 5，则 $x=$ ______。

答案： 5.$-3\pm\sqrt{11}$

6. 若 $|a - 4|+\sqrt{b - 1}=0$，且一元二次方程 $kx^{2}+ax + b = 0$ 有实数根，则 $k$ 的取值范围是 ______。

答案： 6.$k\leq4$且$k\neq0$

7. 如图，在一块长 13 m、宽 7 m 的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是 $72m^{2}$，则道路的宽应设计为多少米？

答案： 7.解：设道路的宽应设计为$x$ m.由题意，得$(13 - x)(7 - x)=72$.整理，得$x^2 - 20x + 19 = 0$，解得$x = 1$或$x = 19$(不符合题意，舍去).答：道路的宽应设计为1 m.