《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

4. 函数$y_1=x(x\geqslant0)$，$y_2=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象如图所示，有以下$4$个结论：①两函数图象的交点$A$的坐标为$(2,2)$；②当$x＞2$时，$y_2＞y_1$；③直线$x=1$与$y_1$，$y_2$依次交于$C$，$B$两点，则$BC=3$；④当$x$逐渐增大时，$y_1$随着$x$的增大而增大，$y_2$随着$x$的增大而减小.其中正确结论的序号是______.

答案： 4.①③④

5. 如图，已知直线$y=k_1x+b$与$x$轴、$y$轴相交于$P$，$Q$两点，与$y=\frac{k_2}{x}$的图象交于$A(-2,m)$，$B(1,n)$两点，连接$OA$，$OB$，有下列结论：①$k_1k_2＜0$；②$m+\frac{1}{2}n=0$；③$S_{\triangle AOP}=S_{\triangle BOQ}$；④不等式$k_1x+b＞\frac{k_2}{x}$的解集是$x＜-2$或$0＜x＜1$.其中正确结论的序号是______.

答案： 5.②③④

6. 如图，点$A(m,m+1)$，$B(m+3,m-1)$都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上.
（1）求$m$，$k$的值.
（2）如果$M$为$x$轴上一点，$N$为$y$轴上一点，以点$A$，$B$，$M$，$N$为顶点的四边形是平行四边形，试写出直线$MN$的函数表达式.

答案： 6.解：
(1)由题意可知，$m(m + 1) = (m + 3)(m - 1)$，解得$m = 3$，$\therefore A(3,4)$，$B(6,2)$，$\therefore k = 4 × 3 = 12$。
(2)存在两种情况：①当点$M$在$x$轴的正半轴上，点$N$在$y$轴的正半轴上时，设点$M_1$的坐标为$(x_1,0)$，点$N_1$的坐标为$(0,y_1)$.$\because$四边形$AN_1M_1B$为平行四边形，$\therefore$线段$N_1M_1$可看作由线段$AB$向左平移$3$个单位长度，再向下平移$2$个单位长度得到的(也可看作向下平移$2$个单位长度，再向左平移$3$个单位长度得到的)。由
(1)知点$A$的坐标为$(3,4)$，点$B$的坐标为$(6,2)$，$\therefore$点$N_1$的坐标为$(0,4 - 2)$，即$N_1(0,2)$；点$M_1$的坐标为$(6 - 3,0)$，即$M_1(3,0)$.设直线$M_1N_1$的函数表达式为$y = k_1x + 2$，把$x = 3$，$y = 0$代入，解得$k_1 = - \frac{2}{3}.\therefore$直线$M_1N_1$的函数表达式为$y = - \frac{2}{3}x + 2$。
②当点$M$在$x$轴的负半轴上，点$N$在$y$轴的负半轴上时，设点$M_2$的坐标为$(x_2,0)$，点$N_2$的坐标为$(0,y_2).\because AB // N_1M_1$，$AB // M_2N_2$，$AB = N_1M_1$，$AB = M_2N_2$，$\therefore N_1M_1 // M_2N_2$，$N_1M_1 = M_2N_2.\therefore$线段$M_2N_2$与线段$N_1M_1$关于原点$O$成中心对称.$\therefore$点$M_2$的坐标为$( - 3,0)$，点$N_2$的坐标为$(0, - 2)$.设直线$M_2N_2$的函数表达式为$y = k_2x - 2$，把$x = - 3$，$y = 0$代入，解得$k_2 = - \frac{2}{3},\therefore$直线$M_2N_2$的函数表达式为$y = - \frac{2}{3}x - 2.\therefore$直线$MN$的函数表达式为$y = - \frac{2}{3}x + 2$或$y = - \frac{2}{3}x - 2$。