《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

17. （8 分）解下列一元二次方程：
(1) $ 3x(2x + 1) = 4x + 2 $；
(2) $ 3x^{2}-2 = 4x $.

答案： 17.
(1)x₁=−$\frac{1}{2}$,x₂=$\frac{2}{3}$　　
(2)x₁=$\frac{2+\sqrt{10}}{3}$,x₂=$\frac{2−\sqrt{10}}{3}$

18. （10 分）为弘扬中华传统文化，某校举办了学生“国学经典大赛”. 比赛项目为 $ A $（唐诗），$ B $（宋词），$ C $（论语），$ D $（三字经）. 比赛形式分单人组和双人组. 小红和小明组成一个小组参加双人组比赛，比赛规则如下：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则小红和小明都没有抽到论语的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明.

答案： 18.$\frac{1}{2}$

19. （10 分）已知矩形 $ ABCD $ 的两邻边 $ AB $，$ BC $ 的长是关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-2mx + 4m - 4 = 0 $ 的两个实数根. 问：当 $ m $ 为何值时，矩形 $ ABCD $ 的两邻边 $ AB $，$ BC $ 的长相等？

答案： 19.解:
∵AB=BC,
∴关于x的方程x²−2mx+4m−4=0有两个相等的实数根,
∴Δ=(−2m)²−4(4m−4)=0,
∴m²−4m+4=0,
∴(m−2)²=0,
∴m=2,即当m=2时，矩形ABCD的两邻边AB,BC的长相等.

20. （12 分）如图，在正方形 $ ABCD $ 中，对角线 $ BD $ 所在的直线上有 $ E $，$ F $ 两点，且满足 $ BE = DF $，连接 $ AE $，$ AF $，$ CE $，$ CF $.
(1) 求证：$ \triangle ABE \cong \triangle ADF $.
(2) 试判断四边形 $ AECF $ 的形状，并说明理由.

答案： 20.
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,
∴∠ABE=∠ADF.在△ABE与△ADF中,$\begin{cases}AB = AD,\\∠ABE = ∠ADF,\\BE = DF,\end{cases}$
∴△ABE≌△ADF.
(2)解:四边形AECF是菱形.理由如下:连接AC,交BD于点O.
∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,
∴OB+BE=OD+DF,
∴OE=OF.
∴四边形AECF是平行四边形.又
∵AC⊥EF,
∴▱AECF是菱形.

21. （12 分）如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = 8 $，$ BC = 4 $，$ CA = 6 $，$ CD // AB $，$ BD $ 是 $ \angle ABC $ 的平分线，$ BD $ 交 $ AC $ 于点 $ E $，求 $ AE $ 的长.

答案： 21.解:
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠CBD.
∵AB//CD,
∴∠D=∠ABD,
∴∠D=∠CBD,
∴BC=CD.
∵BC=4,
∴CD=4.
∵AB//CD,
∴∠A=∠ACD,
∴△ABE∽△CDE,
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{AE}{CE}$，即$\frac{8}{4}$=$\frac{AE}{CE}$，
∴AE=2CE.
∵AC=6=AE+CE,
∴AE=4.