《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

1. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 8$，$BC = 16$，将矩形 $ABCD$ 沿 $EF$ 折叠，使点 $C$ 与点 $A$ 重合，则折痕 $EF$ 的长为（ ）

A.$6$
B.$12$
C.$2\sqrt{5}$
D.$4\sqrt{5}$

答案： 1.D

2. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$E$ 是 $AB$ 边上一点，且 $\angle A=\angle EDF = 60^{\circ}$，有四个结论：① $AE = BF$；② $\triangle DEF$ 是等边三角形；③ $\triangle BEF$ 是等腰三角形；④ $\angle ADE=\angle BEF$。其中正确的有（ ）

A.$3$ 个
B.$4$ 个
C.$1$ 个
D.$2$ 个

答案： 2.A

3. 如图，正方形 $ABCD$ 的面积为 $12$，$\triangle ABE$ 是等边三角形，点 $E$ 在正方形 $ABCD$ 内，在对角线 $AC$ 上有一点 $P$，且使 $PD + PE$ 的值最小，则这个最小值为（ ）

A.$2\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{6}$
C.$3$
D.$\sqrt{6}$

答案： 3.A

4. 在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 4$，$BC = 6$，若点 $P$ 在边 $AD$ 上，连接 $BP$，$PC$，若 $\triangle BPC$ 是以 $PB$ 为腰的等腰三角形，则 $PB$ 的长为______。

答案： 4.5或6

5. 如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $6$，点 $O$ 是对角线 $AC$，$BD$ 的交点，点 $E$ 在 $CD$ 上，且 $DE = 2CE$，过点 $C$ 作 $CF\perp BE$，垂足为点 $F$，连接 $OF$，则 $OF$ 的长为______。

答案： 5.$\frac{6\sqrt{5}}{5}$

6. 如图，矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，过点 $B$ 作 $AC$ 的平行线交 $DC$ 的延长线于点 $E$。
（1）求证：$BD = BE$。
（2）若 $BE = 10$，$CE = 6$，连接 $OE$，求 $\triangle ODE$ 的面积。

答案：
6.
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,AB//CD.又
∵BE//AC，点E在DC的延长线上，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC=BE,
∴BD=BE.
(2)解:如图,过点O作OF⊥CD于点F.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°,
∴∠BCE=90°.在Rt△BCE中,根据勾股定理，得BC=8.
∵BE=BD,
∴CD=CE=6,
∴DE=12.
∵OD=OC,
∴CF=DF.又
∵OB=OD,
∴OF为△BCD的中位线,
∴OF=$\frac{1}{2}$BC=4.
∴S△ODE=$\frac{1}{2}$DE·OF=$\frac{1}{2}$×12×4=24.