《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

4. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$DF // AC$，$DE // BC$，$AE = 4$，$EC = 2$，$BC = 8$，则 $CF$ 为____.

答案： 4.$\frac{16}{3}$

5. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 2$，$BC = 3$，$E$ 是 $AD$ 的中点，则点 $C$ 到 $BE$ 的距离 $CF =$____.

答案： 5.2.4

6. 如图，$Rt \triangle ABC$ 的两条直角边 $AB = 4\ cm$，$AC = 3\ cm$，点 $D$ 沿 $AB$ 从点 $A$ 向点 $B$ 运动，速度是 $1\ cm/s$，同时，点 $E$ 沿 $BC$ 从点 $B$ 向点 $C$ 运动，速度为 $2\ cm/s$. 动点 $E$ 到达点 $C$ 时两点运动终止. 连接 $DE$，$CD$，$AE$.
（1）当动点运动____$s$ 时，$\triangle BDE$ 与 $\triangle ABC$ 相似.
（2）当动点运动____$s$ 时，$CD \perp DE$.

答案： 6.
(1)$\frac{20}{13}$s或$\frac{8}{7}$　
(2)$\frac{2}{13}$

7. 在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle BAC = 2\angle DAE = 2\alpha$.
（1）如图 1，若点 $D$ 关于直线 $AE$ 的对称点为点 $F$，求证：$\triangle ADF \backsim \triangle ABC$.
（2）如图 2，在（1）的条件下，若 $\alpha = 45^{\circ}$，求证：$DE^{2} = BD^{2} + CE^{2}$.
（3）如图 3，若 $\alpha = 45^{\circ}$，点 $E$ 在 $BC$ 的延长线上，则等式 $DE^{2} = BD^{2} + CE^{2}$ 还成立吗？请说明理由.

答案：
7.
(1)证明:
∵点D与点F关于直线AE对称,
∴AD=AF,∠DAE=∠FAE=α.
∴∠DAF=2α=∠BAC.
∵AB=AC,AD=AF,
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AF}{AC}$,
∴△ADF∽△ABC.
(2)证明:
∵∠DAF=2α=∠BAC,
∴∠BAC−∠DAC=∠DAF−∠DAC,即∠BAD=∠CAF.又
∵AB=AC,AD=AF,
∴△BAD≌△CAF.
∴BD=CF,∠ABD=∠ACF.
∵∠BAC=2α=2×45°=90°,AB=AC,
∴∠ABD=∠ACB=45°,
∴∠ACF=∠ABD=45°.
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°.
∴EF²=CF²+CE².
∵点D与点F关于直线AE对称,
∴DE=EF.
∴DE²=BD²+CE².
(3)解:还成立.理由如下:如图,作点D关于直线AE的对称点F,

连接AF,EF,CF,
∴AD=AF,DE=EF,∠FAE=∠DAE=α.
∴∠DAF=2α=∠BAC.
∴∠DAF−∠DAC=∠BAC−∠DAC,
∴∠CAF=∠BAD.又
∵AB=AC,AD=AF,
∴△BAD≌△CAF.
∴BD=CF,∠ABD=∠ACF.易得∠FCE=∠BCF=90°,在Rt△FCE中,EF²=CF²+CE²,
∴DE²=BD²+CE².

知识梳理
本节利用______、______、______三种方法测量旗杆的高度，都用了______这个判定三角形相似的方法.

答案： 阳光下的影子 标杆 镜子的反射 两个角相等的两个三角形相似

1. 兴趣小组的同学要测量树的高度.在阳光下，一名同学测得一根长为 1 m 的竹竿的影长为 0.4 m，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为 0.2 m，一级台阶高为 0.3 m，如图所示，若此时落在地面上的影长为 4.4 m，则树高为（ ）

A.11.5 m
B.11.75 m
C.11.8 m
D.12.25 m

答案： 1.C