《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

8. 如图，在$□ ABCD$中，点$E$在边$BC$上，连接$AE$并延长，交对角线$BD$于点$F$，交$DC$的延长线于点$G$。如果$\frac{CE}{BE}=\frac{2}{3}$，则$\frac{FE}{EG}=$______。

答案： $8.\frac{9}{16}$

9. 如图，点$C$在$\angle AOB$的内部，$\angle OCA=\angle OCB$，$\angle OCA$与$\angle AOB$互补。若$AC = 1.5$，$BC = 2$，则$OC=$______。

答案： $9.\sqrt{3}$

10. 如图，$\triangle OAB$与$\triangle OCD$是以点$O$为位似中心的位似图形，相似比为$3:4$，$\angle OCD = 90^{\circ}$，$\angle AOB = 60^{\circ}$，若点$B$的坐标是$(6,0)$，则点$C$的坐标是______。

答案： $10.(2,2\sqrt{3})$

11. 如图，在矩形$ABCD$中，将$\angle ABC$绕点$A$按逆时针方向旋转一定角度后，$BC$的对应边$B'C'$交$CD$于点$G$，连接$BB',CC'$。若$AD = 7$，$CG = 4$，$AB' = B'G$，则$\frac{CC'}{BB'}=$______（结果保留根号）。

答案： $11.\frac{\sqrt{74}}{5}$

12. 在矩形$ABCD$中，$AB = 6$，$BC = 8$，点$P$在矩形$ABCD$的内部，点$E$在边$BC$上，满足$\triangle PBE\backsim\triangle DBC$，若$\triangle APD$是等腰三角形，则$PE$的长为______。

答案： $12.\frac{6}{5}$或3

13. （16分）如图，在正方形$ABCD$中，$P$是$BC$上一点，且$BP = 3PC$，$Q$是$CD$的中点。求证：$\triangle ADQ\backsim\triangle QCP$。

答案： 13.证明：设正方形ABCD的边长为a，$\therefore AD = BC = CD = a.$又$\because Q$是CD的中点，$\therefore DQ = CQ = \frac{1}{2}a.$
$\because BP = 3PC，$$\therefore PC = \frac{1}{4}a.\therefore AQ = \sqrt{a^{2} + \frac{a^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{5}a}{2},PQ = \sqrt{\frac{a^{2}}{4} + \frac{a^{2}}{16}} = \frac{\sqrt{5}a}{4}.\therefore \frac{AD}{QC} = \frac{DQ}{CP} = \frac{AQ}{QP} = 2.$
$\therefore \triangle ADQ \sim \triangle QCP.$

14. （18分）如图，$\triangle ABC$是等边三角形，点$D,E$在$BC$所在的直线上，且$AB· AC = BD· CE$。求证：$\triangle ABD\backsim\triangle ECA$。

答案： 14.证明：$\because \triangle ABC$是等边三角形，$\therefore \angle ABC = \angle ACB = 60^{\circ}，$$\therefore 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - \angle ACB，$
$\therefore \angle ABD = \angle ECA.$又$\because AB · AC = BD · CE，$
$\therefore \frac{AB}{EC} = \frac{BD}{CA},\therefore \triangle ABD \sim \triangle ECA.$

15. （18分）在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 5$，$BC = 6$，过边$AB$上一点$D$作$DE// BC,DF// AC$，分别交边$AC,BC$于点$E$和$F$。
（1）如图1，求证：$\triangle ADE\backsim\triangle DBF$。
（2）如图1，若四边形$DECF$是菱形，求$DE$的长。
（3）如图2，若以$D,E,F$三点为顶点的三角形与$\triangle BDF$相似，求$AD$的长。

答案： 15.
(1)证明：$\because DE // BC，$DF // AC，$\therefore \angle ADE = \angle B，$
$\angle A = \angle BDF，$$\therefore \triangle ADE \sim \triangle DBF.(2)$解：设DE = x.
$\because $四边形DECF是菱形，$\therefore DE = DF = CF = CE = x，$
$\therefore AE = 5 - x，$$BF = 6 - x.\because \triangle ADE \sim \triangle DBF，$
$\therefore \frac{DE}{BF} = \frac{AE}{DF},$即$\frac{x}{6 - x} = \frac{5 - x}{x}，$解得$x = \frac{30}{11}.\therefore DE$的长
为$\frac{30}{11}.(3)$解：设AD = AE = t，则$CE = 5 - t.\because DE //$
BC，DF // AC，$\therefore $四边形DECF为平行四边形，$\therefore DF =$
$CE = 5 - t,DE = CF.\because DE // BC，$$\therefore \angle ADE = \angle B，$
$\angle AED = \angle C，$$\therefore \triangle ADE \sim \triangle ABC，$$\therefore \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}，$
即$\frac{t}{5} = \frac{DE}{6},\therefore DE = \frac{6}{5}t,\therefore CF = \frac{6}{5}t,\therefore BF = 6 -$
$\frac{6}{5}t.\because \angle EDF = \angle BFD，$$\therefore $当$\frac{DE}{BF} = \frac{DF}{DF}$时，$\triangle EDF \sim$
$\triangle BFD，$$\therefore BF = DE，$即$6 - \frac{6}{5}t = \frac{6}{5}t，$解得$t = \frac{5}{2};$
当$\frac{DE}{DF} = \frac{DF}{BF}$时，$\triangle EDF \sim \triangle DFB，$$\therefore \frac{\frac{6}{5}t}{5 - t} = \frac{5 - t}{6 - \frac{6}{5}t}，$
解得t = 5(舍去)或$t = \frac{125}{61}.$综上所述，AD的长为$\frac{5}{2}$
或$\frac{125}{61}.$