《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

知识梳理
1. 相似三角形的周长比等于____.
2. 相似三角形的面积比等于____.

答案： 1.相似比 2.相似比的平方

1. 如图，已知在 $ □ ABCD $ 中，$ E $ 为 $ AD $ 的中点，$ CE $ 的延长线交 $ BA $ 的延长线于点 $ F $，连接 $ BE $，则下列结论错误的是（ ）

A.$ FA:FB = 1:2 $
B.$ AE:BC = 1:2 $
C.$ BE:CF = 1:2 $
D.$ S_{\triangle ABE}:S_{\triangle FBC} = 1:4 $

答案： 1.C

2. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，点 $ D $，$ E $ 分别为边 $ AB $，$ AC $ 上的中点，则 $ \triangle ADE $ 与 $ \triangle ABC $ 的面积之比是（ ）

A.$ 1:4 $
B.$ 1:3 $
C.$ 1:2 $
D.$ 2:1 $

答案： 2.A

3. 如图为 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle DEC $ 重叠的情形，其中点 $ E $ 在 $ BC $ 上，$ AC $ 交 $ DE $ 于点 $ F $，且 $ AB // DE $. 若 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle DEC $ 的面积相等，且 $ EF = 9 $，$ AB = 12 $，则 $ DF $ 等于（ ）

A.$ 3 $
B.$ 7 $
C.$ 12 $
D.$ 15 $

答案： 3.B

4. 如果两个相似三角形的面积之比是 $ 4:25 $，其中小三角形最大内角的角平分线长是 $ 12 $ cm，那么大三角形最大内角的角平分线长是____ cm.

答案： 4.30

5. 在 $ □ ABCD $ 中，$ E $ 是 $ AD $ 延长线上的一点，$ DE = 3BC $，$ BE $ 和 $ CD $ 相交于点 $ F $，若 $ S_{\triangle BCF} = 5 $，则 $ S_{\triangle ABE} = $____.

答案： 5.80

6. 如图，$ D $，$ E $ 分别是 $ \triangle ABC $ 的边 $ AB $，$ BC $ 上的点，且 $ DE // AC $，若 $ S_{\triangle BDE}:S_{\triangle CDE} = 1:3 $，则 $ S_{\triangle DOE}:S_{\triangle AOC} = $____.

答案： 6.1:16

7. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = 5 $，$ BC = 3 $，$ AC = 4 $，$ EF // AB $，点 $ E $ 在 $ AC $ 上（且不与点 $ A $，$ C $ 重合），点 $ F $ 在 $ BC $ 上.
(1) 当 $ \triangle ECF $ 的面积与四边形 $ EABF $ 的面积相等时，求 $ CE $ 的长.
(2) 当 $ \triangle ECF $ 的周长与四边形 $ EABF $ 的周长相等时，求 $ CE $ 的长.
(3) 试问：在 $ AB $ 上是否存在点 $ P $，使得 $ \triangle EFP $ 为等腰直角三角形？若存在，请求出 $ EF $ 的长；若不存在，请说明理由.

答案：
7.解：
(1)
∵△ECF的面积与四边形EABF的面积相等，
∴$S_{\triangle ECF}:S_{\triangle ACB}=1:2$.
∵$EF// AB$，
∴△ECF∽△ACB，
∴$\frac{S_{\triangle ECF}}{S_{\triangle ACB}}=(\frac{CE}{CA})^2=\frac{1}{2}$.又
∵$AC = 4$，
∴$CE = 2\sqrt{2}$.
(2)设CE的长为$x$.由
(1)知△ECF∽△ACB，
∴$\frac{CE}{CA}=\frac{CF}{CB}$，
∴$CF=\frac{3}{4}x$.
∵△ECF的周长与四边形EABF的周长相等，
∴$x + EF+\frac{3}{4}x=(4 - x)+5+(3 - \frac{3}{4}x)+EF$，解得$x=\frac{24}{7}$.
∴CE的长为$\frac{24}{7}$.
(3)存在.当△EFP为等腰直角三角形时，分两种情况：
①EF为直角边时，如图1，过点C作$CD\perp AB$于点D.假设∠PEF = 90°，$EP = EF$.
∵$BC^2+AC^2=3^2 + 4^2=5^2=AB^2$，
∴∠C = 90°.
∵$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}CD· AB$，
∴$CD=\frac{12}{5}$.设$EP = EF = a$，由△ECF∽△ACB，得$\frac{EF}{AB}=\frac{CD - EP}{CD}$，即$\frac{a}{5}=\frac{\frac{12}{5}-a}{\frac{12}{5}}$，解得$a=\frac{60}{37}$，即$EF=\frac{60}{37}$.当∠EFP = 90°，$EF = FP$时，同理，得$EF=\frac{60}{37}$.
②EF为斜边时，如图2，过点C作$CD\perp AB$于点D，过点P作$PH\perp EF$于点H.则∠EPF = 90°，$PE = PF$.
∵$PH\perp EF$，
∴$PH=\frac{1}{2}EF$.设$EF = a$，由△ECF∽△ACB，得$\frac{EF}{AB}=\frac{CD - PH}{CD}$，即$\frac{a}{5}=\frac{\frac{12}{5}-\frac{1}{2}a}{\frac{12}{5}}$，解得$a=\frac{120}{49}$，即$EF=\frac{120}{49}$.
综上所述，在AB上存在点P，使得△EFP为等腰直角三角形，此时，EF的长为$\frac{60}{37}$或$\frac{120}{49}$.