《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

5. 如图，在四边形$ABCD$中，$BA = BC$，$DA = DC$，$AD// BC$，过点$B$作$BE\perp DA$，交$DA$的延长线于点$E$，若$BE = 4$，$ED = 8$，则$AC =$_______.

答案： $5.2\sqrt{5}$

6. 如图，某同学剪了两条宽均为$\sqrt{3}$的纸条，交叉叠放在一起，且它们的交角为$60^{\circ}$，则它们重叠部分的面积为_______.

答案： $6.2\sqrt{3}$

7. 如图，在$\triangle ABC$中，$BC = 2AB$，点$D$，$E$分别是边$BC$，$AC$的中点.将$\triangle CDE$绕点$E$旋转$180^{\circ}$，得到$\triangle AFE$.
（1）判断四边形$ABDF$的形状，并证明.
（2）连接$AD$，$BF$.已知$AB = 3$，$AD + BF = 8$，求四边形$ABDF$的面积$S$.

答案：
7.解：
(1)四边形ABDF是菱形.证明如下：
∵CD=DB，
CE=EA，
∴DE//AB，AB=2DE.由旋转的性质可知，DE=EF，
∴AB=DF，AB//DF，
∴四边形ABDF是平行四边形.
∵BC=2AB，BD=DC，
∴BA=BD，
∴四边形ABDF是菱形.
(2)如图，设BF，AD交于点O.
∵四边形ABDF是菱形，
∴AD⊥BF，OB=OF，AO=OD.设OA=x，OB=y，则有$\begin{cases}2x + 2y = 8,\\x^{2}+y^{2}=3^{2},\end{cases}$
∴x + y = 4，
∴$x^{2}+2xy+y^{2}=16，$
∴2xy=7，
∴$S=\frac{1}{2}BF·AD=2xy=7.$

知识梳理

答案： 边 角 对角线
菱形性质对边平行，四条边相等对角相等互相垂直平分
菱形判定四边形平行四边形平行四边形四条边相等一组邻边相等对角线互相垂直

1. 如图，菱形$ABCD$和菱形$ECGF$的边长分别为$2$和$3$，$\angle A = 120^{\circ}$，则图中阴影部分的面积是（ ）

A.$\sqrt{3}$
B.$2$
C.$3$
D.$\sqrt{2}$

答案： 1.A