《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

1. 如图，一张矩形纸片 $ ABCD $ 的长 $ AB = a cm $，宽 $ BC = b cm $，$ E $，$ F $ 分别为 $ AB $，$ CD $ 的中点，这张纸片沿直线 $ EF $ 对折后，矩形 $ AEFD $ 的长与宽之比等于矩形 $ ABCD $ 的长与宽之比，则 $ a : b $ 等于（ ）

A.$ \sqrt{2} : 1 $
B.$ 1 : \sqrt{2} $
C.$ \sqrt{3} : 1 $
D.$ 1 : \sqrt{3} $

答案： 1.A

2. 如图，$ AC $ 是矩形 $ ABCD $ 的对角线，$ E $ 是边 $ BC $ 延长线上一点，$ AE $ 与 $ CD $ 相交于点 $ F $，则图中的相似三角形共有（ ）

A.$ 2 $ 对
B.$ 3 $ 对
C.$ 4 $ 对
D.$ 5 $ 对

答案： 2.C

3. 如图，矩形台球桌 $ ABCD $ 的尺寸为 $ 2.7 m × 1.6 m $，位于 $ AB $ 中点处的台球 $ E $ 沿直线向 $ BC $ 边上的点 $ F $ 运动，经 $ BC $ 边反弹后恰好落入点 $ D $ 处的袋子中，则 $ BF $ 的长度为____ $ m $.

答案： 3.0.9

4. 如图，在 $ □ ABCD $ 中，$ E $ 是 $ CD $ 的延长线上一点，$ BE $ 与 $ AD $ 交于点 $ F $，$ CD = 2DE $. 若 $ \triangle DEF $ 的面积为 $ 1 $，则 $ □ ABCD $ 的面积为____.

答案： 4.12

5. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ BC = 3 $，$ AC = 4 $，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，以点 $ B $ 为圆心、$ BC $ 的长为半径画弧，与 $ AB $ 交于点 $ D $，再分别以点 $ A $，$ D $ 为圆心，大于 $ \frac{1}{2}AD $ 的长为半径画弧，两弧交于点 $ M $，$ N $，作直线 $ MN $，分别交 $ AC $，$ AB $ 于点 $ E $，$ F $，则线段 $ EF $ 的长为____.

答案： 5.$\frac{3}{4}$

6. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，点 $ D $ 是 $ BC $ 的中点，且 $ AD = AC $，$ DE \perp BC $，$ DE $ 与 $ BA $ 相交于点 $ E $，$ EC $ 与 $ AD $ 相交于点 $ F $.
(1) 求证：$ \triangle ABC \backsim \triangle FCD $.
(2) 若 $ S_{\triangle FCD} = 5 $，$ BC = 10 $，求 $ DE $ 的长.

答案： 6.
(1)证明：$\because$点 $D$ 是 $BC$ 的中点，$DE \perp BC$，$\therefore EB = EC$，$\therefore \angle B = \angle BCE$. 又$\because AD = AC$，$\therefore \angle ACB = \angle ADC$，$\therefore \triangle ABC \sim \triangle FCD$. （2）解：过点 $A$ 作 $AM \perp BC$ 于点 $M$.$\because$点 $D$ 是 $BC$ 的中点，$\therefore BC = 2CD$.由
(1)知，$\triangle ABC \sim \triangle FCD$，$\therefore \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle FCD}} = (\frac{BC}{CD})^2 = 4$.又$\because S_{\triangle FCD} = 5$，$\therefore S_{\triangle ABC} = 20$.$\because S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}BC ·$
$AM$，$\therefore AM = \frac{2S_{\triangle ABC}}{BC} = \frac{2 × 20}{10} = 4$.$\because DE \perp BC$，$AM \perp BC$，$\therefore \angle EDB = \angle AMB = 90^{\circ}$. 又$\because \angle B = \angle B$，
$\therefore \triangle BDE \sim \triangle BMA$.$\therefore \frac{DE}{MA} = \frac{BD}{BM}$.$\because AD = AC$，$AM \perp BC$，$\therefore DM = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{4}BC = \frac{5}{2}$.又$\because BD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 10 = 5$，$\therefore \frac{DE}{4} = \frac{5}{5 + \frac{5}{2}}$，$\therefore DE = \frac{8}{3}$.