《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

知识梳理
如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = AB·$______$A$，$BC = AB·$______$A$，$BC = AC·$______$A$。用 $\angle B$ 的三角函数表示，有 $AB = AC·$______，$BC = AC·$______。

答案： 知识梳理
$\cos$ $\sin$ $\tan$ $\frac{1}{\sin B}$ $\frac{1}{\tan B}$

1. 在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 5$，$AC = 4$。下列四个选项中，正确的是（ ）

A.$\tan B=\frac{3}{4}$
B.$\sin B=\frac{4}{3}$
C.$\sin B=\frac{4}{5}$
D.$\cos B=\frac{4}{5}$

答案： 1.C

2. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是边 $BC$ 的中点，$AE\perp BD$，垂足为点 $F$，则 $\tan\angle BDE$ 的值是（ ）

A.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{3}$

答案： 2.A

3. 如图，在离水面高度为 $5m$ 的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为 $30^{\circ}$，此人以每秒 $0.5m$ 的速度收绳。求未开始收绳子的时候，绳子的长度是______$m$；收绳 $8s$ 后船向岸边移动了______$m$。（结果保留根号）

答案： 3.10 $(5\sqrt{3}-\sqrt{11})$

4. 如图，在一间教室内有一个长为 $2a(a＞0)m$ 的梯子斜靠在墙上，梯子的倾斜角为 $60^{\circ}$。如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子的倾斜角为 $45^{\circ}$，则这间教室的宽 $AB$ 为______$m$。（结果不作近似计算）

答案： 4.$(a+\sqrt{2}a)$

5. 在 $\triangle ABC$ 中，$BC = \sqrt{3}+1$，$\angle B = 30^{\circ}$，$\angle C = 45^{\circ}$，求 $\triangle ABC$ 的面积。

答案： 5.解：过点$A$作$AD\perp BC$于点$D$。在$Rt\triangle ABD$中，
$\because \tan B=\tan30^{\circ}=\frac{AD}{BD}$，$\therefore BD=\frac{AD}{\tan30^{\circ}}$。在$Rt\triangle ACD$中，
$\because \angle C=45^{\circ}$，$\therefore \angle CAD=45^{\circ}$，$\therefore CD=AD$。$\therefore \frac{AD}{\tan30^{\circ}}+AD=BC=\sqrt{3}+1$。$\therefore AD=1$。$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AD· BC=$
$\frac{1}{2}×1×(\sqrt{3}+1)=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$。