《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

5. 若方程 $x^{2}+(2k - 1)x + k^{2}-1 = 0$ 的两个实数根的平方和等于 $9$，则 $k$ 的值为____。

答案： 5.$-1$

6. 若一元二次方程 $x^{2}-(a + 2)x + 2a = 0$ 的两个实数根分别是 $3,b$，则 $a + b=$____。

答案： 6.5

7. 已知关于 $x$ 的方程 $2x^{2}+kx-1 = 0$。
（1）求证：方程有两个不相等的实数根。
（2）若方程的一个根是 $x = -1$，求方程的另一个根及 $k$ 的值。

答案： 7.
(1)证明：$\because \Delta=k^{2}+8＞0$，$\therefore$方程有两个不相等的实数根。
(2)解：设另一个根为$x_{1}$，由根与系数的关系，得
$\begin{cases}-1+x_{1}=-\frac{1}{2}k,\\-x_{1}=-\frac{1}{2}.\end{cases}$
$\therefore x_{1}=\frac{1}{2},k=1$。

知识梳理
应用一元二次方程解应用题的步骤：________、________、________、________、________.

答案： 设 列 解 检验 答

1. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次，则参加酒会的有（ ）

A.9 人
B.10 人
C.11 人
D.12 人

答案： 1.C

2. 如图，矩形 $ABCD$ 的周长是 $20\ cm$，以 $AB$，$AD$ 为边分别向外作正方形 $ABEF$ 和正方形 $ADGH$，若正方形 $ABEF$ 和 $ADGH$ 的面积之和为 $68\ cm^{2}$，那么矩形 $ABCD$ 的面积是（ ）

A.$21\ cm^{2}$
B.$16\ cm^{2}$
C.$24\ cm^{2}$
D.$9\ cm^{2}$

答案： 2.B

3. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 6210 文.如果每株椽的运费是 3 文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱.试问：6210 文能买多少株椽？设这批椽的数量为 $x$ 株，则符合题意的方程是（ ）

A.$3(x - 1)x = 6210$
B.$3(x - 1) = 6210$
C.$(3x - 1)x = 6210$
D.$3x = 6210$

答案： 3.A

4. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 169 人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了________个人.

答案： 4.12

5. 如图，一长 $32\ m$、宽 $20\ m$ 的矩形地面上建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行了绿化.若已知绿化面积为 $540\ m^{2}$，则道路的宽为________ $m$.

答案： 5.2

6. 如图，某幼儿园有一面长为 $16\ m$ 的墙，计划用 $32\ m$ 长的围栏靠墙围成一个面积为 $120\ m^{2}$ 的矩形草坪 $ABCD$.该矩形草坪 $BC$ 边的长是______ $m$.

答案： 6.12