《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

18. （6 分）如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是边 $AD$ 的中点，延长 $CE$，$BA$ 交于点 $F$，连接 $AC$，$DF$.
（1）求证：四边形 $ACDF$ 是平行四边形.
（2）当 $CF$ 平分 $\angle BCD$ 时，写出 $BC$ 与 $CD$ 的数量关系，并说明理由.

答案： 18.
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB//CD,
∴∠FAE=∠CDE.
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE.又
∵∠FEA=∠CED,
∴△FAE≌△CDE,
∴FA=CD.又
∵AF//CD,
∴四边形ACDF是平行四边形.
(2)解:BC=2CD.理由如下:
∵CF平分∠BCD,
∴∠DCE=45°.
∵∠CDE=90°,
∴△CDE 是等腰直角三角形，
∴CD=DE.
∵点E是AD的中点,
∴AD=2CD.
∵AD=BC,
∴BC=2CD.

19. （6 分）水果店老板以每千克 2 元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克 4 元的价格出售，每天可售出 100 kg.通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低 0.1 元，每天可多售出 20 kg，为保证每天至少售出 260 kg，老板决定降价销售.
（1）若这种水果每千克的售价降低 $x$ 元，则每天的销售量是______ kg.（用含 $x$ 的代数式表示，需要化简）
（2）销售这种水果要想每天盈利 300 元，老板需将每千克的售价定为多少元？

答案： 19.
(1)(100 + 200x)　
(2)解:设这种水果每千克的售价降低x元.根据题意,得(4 - 2 - x)(100 + 200x) = 300，解得$x_1 = \frac{1}{2},x_2 = 1$。当$x = \frac{1}{2}$时，销售量是$100 + 200×\frac{1}{2} = 200(kg)＜260(kg)$；当$x = 1$时，销售量是$100 + 200 = 300(kg)$。
∵每天至少售出260kg，
∴$x = 1$。
∴$4 - 1 = 3$(元)。
答:老板需将每千克的售价定为3元.

20. （6 分）如图，在 $□ ABCD$ 中，$AE \perp BC$，$AF \perp CD$，垂足分别为点 $E$，$F$，且 $BE = DF$.
（1）求证：$□ ABCD$ 是菱形.
（2）若 $AB = 5$，$AC = 6$，求 $□ ABCD$ 的面积.

答案： 20.
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B = ∠D。
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB = ∠AFD = 90°。
∵BE = DF，
∴△AEB≌△AFD，
∴AB = AD。
∴□ABCD是菱形.
(2)解:连接BD交AC于点O。
∵四边形ABCD是菱形，AC = 6，
∴AC⊥BD，AO = OC = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}×6 = 3$。
∵AB = 5，AO = 3，
∴BO = $\sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$，
∴BD = 2BO = 8。
∴$S_{□ABCD} = \frac{1}{2}AC·BD = 24$。

21. （6 分）如图，在正方形 $ABCD$ 中，$G$ 是对角线 $BD$ 上的点，$GE \perp CD$，$GF \perp BC$，$E$，$F$ 分别为垂足，连接 $EF$.设 $M$，$N$ 分别是 $AB$，$BG$ 的中点，$EF = 5$，求 $MN$ 的长.

答案：
21.解:如图,连接AG和GC.
　　　　　　　　
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC,∠BCD=90°,∠ABG=∠CBG.又
∵BG=BG,
∴△ABG≌△CBG,
∴AG=CG.
∵GE⊥CD,GF⊥BC,∠BCD=90°,
∴四边形FCEG是矩形,
∴EF=CG.
∴AG=EF=5.
∵M,N分别为AB,BG的中点，
∴MN=$\frac{1}{2}$AG=2.5.