《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

1. 下列叙述中，正确的有（ ）
① 对角线互相平分、相等且垂直的四边形是正方形；② 一组邻边相等的矩形是正方形；③ 对角线相等的菱形是正方形；④ 一个内角是直角的菱形是正方形.

A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个

答案： 1.D

2. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$\triangle ABE$ 和$\triangle CDF$ 为直角三角形，$\angle AEB = \angle CFD = 90^{\circ}$，$AE = CF = 5$，$BE = DF = 12$，则 $EF$ 的长是（ ）

A.$7$
B.$8$
C.$7\sqrt{2}$
D.$7\sqrt{3}$

答案： 2.C

3. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 为 $AD$ 的中点，$F$ 为 $AB$ 的中点，$DF$ 的延长线与 $CB$ 的延长线交于点 $H$，$CE$ 与 $DH$ 相交于点 $G$，若 $AB = 10$，则 $BG$ 的长为____.

答案： 3.10

4. 如图，已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $6$，$E$，$F$ 分别是边 $AB$，$BC$ 上的点，且$\angle EDF = 45^{\circ}$，将$\triangle DAE$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$，得到$\triangle DCM$.若 $AE = 2$，则 $FM$ 的长为____.

答案： 4.5

5. 如图，两个边长均为 $1$ 的正方形重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点 $A$ 顺时针旋转 $45^{\circ}$，此时这两个正方形重叠部分的面积是____.

答案： $5.\sqrt{2}-1$

6. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，且 $OA = OB = OC = OD = \dfrac{\sqrt{2}}{2}AB$.
(1) 求证：四边形 $ABCD$ 是正方形.
(2) 若点 $H$ 是边 $AB$ 上一点（点 $H$ 与 $A$，$B$ 两点不重合），连接 $HD$，将线段 $HD$ 绕点 $H$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$，得到线段 $HE$，过点 $E$ 分别作 $BC$ 及 $AB$ 延长线的垂线，垂足分别为点 $F$，$G$.设四边形 $BGEF$ 的面积为 $S_{1}$，以 $HB$，$BC$ 为邻边的矩形的面积为 $S_{2}$，且 $S_{1} = S_{2}$.若 $AB = 2$，求 $AH$ 的长.

答案： 6.
(1)证明：
∵OA=OB=OC=OD，
∴四边形ABCD是
平行四边形，AC=BD，
∴□ABCD是矩形.
∵OA=
$OB=\frac{\sqrt{2}}{2}AB，$
∴OA²+OB²=AB²，
∴∠AOB=90°，即
AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形.
(2)解：
∵EF⊥
BC，EG⊥AG，
∴∠G=∠EFB=∠FBG=90°，
∴四
边形BGEF是矩形.
∵将线段HD绕点H顺时针旋转
90°，得到线段HE，
∴∠DHE=90°，DH=HE，
∴∠ADH+∠AHD=∠AHD+∠EHG=90°，
∴∠ADH=∠GHE.
∵∠DAH=∠G=90°，
∴△ADH≌△GHE(AAS)，
∴AD=GH，AH=GE.
∵AB=AD，
∴AB=GH，
∴AH=BG，
∴BG=EG，
∴矩形BGEF是正方形.设AH=x，则BG=EG=x.
∵S₁=S₂，
∴x²=2(2-x)，解得$x=\sqrt{5}-1$或x=
$-\sqrt{5}-1($舍去).
∴AH的长为$\sqrt{5}-1.$