《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

7. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$\angle ABC = 60^{\circ}$，$AB = 2$. 点 $P$ 是这个菱形内部或边上一点，若以点 $P,B,C$ 为顶点的三角形是等腰三角形，则 $P,D$（$P,D$ 两点不重合）两点间的最短距离为________.

答案： 7.$2\sqrt{3}-2$

8. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 4$，$AD = 3$，点 $Q$ 在对角线 $AC$ 上，且 $AQ = AD$，连接 $DQ$ 并延长，与边 $BC$ 交于点 $P$，则线段 $AP =$________.

答案： 8.$\sqrt{17}$

9. 如图，已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $3$，$E,F$ 分别是边 $AB,BC$ 上的点，且 $\angle EDF = 45^{\circ}$. 将 $\triangle DAE$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$，得到 $\triangle DCM$. 若 $AE = 1$，则 $FM$ 的长为________.

答案： 9.$\frac{5}{2}$

10. 如图为某城市部分街道示意图，四边形 $ABCD$ 为正方形，点 $G$ 在对角线 $BD$ 上，$GE\perp CD$，$GF\perp BC$，$AD = 1500$ m. 小敏行走的路线为 $B\to A\to G\to E$，小聪行走的路线为 $B\to A\to D\to E\to F$. 若小敏行走的路程为 $3100$ m，则小聪行走的路程为________ m.

答案： 10.4 600

11. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$AB = 3$，点 $E,F$ 分别在边 $CD,AD$ 上，$CE = DF$，$BE,CF$ 相交于点 $G$. 若图中阴影部分的面积与正方形 $ABCD$ 的面积之比为 $2:3$，则 $\triangle BCG$ 的周长为________.

答案： 11.$\sqrt{15} + 3$

12. 四边形 $ABCD$ 是菱形，$\angle BAD = 60^{\circ}$，$AB = 6$，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，点 $E$ 在边 $AC$ 上，若 $OE = \sqrt{3}$，则 $CE$ 的长为________.

答案： 12.$4\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}$

13. （12 分）如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，点 $D$ 为 $AB$ 的中点，连接 $CD$，过点 $D$ 作 $DE// BC$，且 $DE = BC$，连接 $BE$，求证：四边形 $BCDE$ 是菱形.

答案： 13.证明：$\because DE // BC$，且$DE = BC$，$\therefore$四边形$BCDE$是平行四边形.$\because CD$为$Rt\triangle ABC$的斜边$AB$上的中线，$\therefore CD = BD = \frac{1}{2}AB$.$\because \angle ABC = 60^{\circ}$，$\therefore \triangle BCD$为等边三角形，$\therefore BC = CD$，$\therefore$四边形$BCDE$是菱形.