《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

1. 如图，四边形 $ABCD$ 是边长为 $1$ 的正方形，$\triangle BPC$ 是等边三角形，则 $\triangle BPD$ 的面积为（ ）

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{2\sqrt{3}-1}{8}$

答案： 1.B

2. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 分别在边 $AB$，$BC$ 上，且 $AE = \frac{1}{3}AB$，将矩形沿直线 $EF$ 折叠，使点 $B$ 恰好落在边 $AD$ 上的点 $P$ 处，连接 $BP$ 交 $EF$ 于点 $Q$，有 $4$ 个结论：① $EF = 2BE$；② $PF = 2PE$；③ $FQ = 4EQ$；④ $\triangle PBF$ 是等边三角形。其中正确的是（ ）

A.①②
B.②③
C.①③
D.①④

答案： 2.D

3. 矩形 $OABC$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 $B$ 的坐标为 $(5,6)$，点 $D$ 是 $OA$ 的中点，点 $E$ 在边 $AB$ 上，当 $\triangle CDE$ 的周长最小时，点 $E$ 的坐标为____。

答案： 3.(5,2)

4. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$AC$ 为对角线，点 $E$ 在边 $AB$ 上，$EF\perp AC$ 于点 $F$，连接 $EC$，若 $AF = 3$，$\triangle EFC$ 的周长为 $12$，则 $EC$ 的长为____。

答案： 4.5

5. 【猜想与证明】
按如图 $1$ 所示摆放矩形纸片 $ABCD$ 与矩形纸片 $ECGF$，使 $B$，$C$，$G$ 三点在一条直线上，$CE$ 在边 $CD$ 上，连接 $AF$，若 $M$ 为 $AF$ 的中点，连接 $DM$，$ME$，试猜想 $DM$ 与 $ME$ 的关系，并证明你的结论。
【拓展与延伸】
(1) 若将【猜想与证明】中的纸片换成正方形纸片 $ABCD$ 与正方形纸片 $ECGF$，其他条件不变，则 $DM$ 与 $ME$ 的关系为____。
(2) 按如图 $2$ 所示摆放正方形纸片 $ABCD$ 与正方形纸片 $ECGF$，使点 $F$ 在边 $CD$ 上，点 $M$ 仍为 $AF$ 的中点，试证明 (1) 中的结论仍然成立。

答案： 5.猜想：解：DM=ME.证明：延长EM交AD于点H.
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，由题意易知AD//EF，
∴∠EFM=∠HAM，又
∵∠FME=∠AMH，FM=AM.在△FME和△AMH中，
$\begin{cases} ∠EFM=∠HAM, \\ FM=AM, \\ ∠FME=∠AMH, \end{cases}$
∴△FME≌△AMH(ASA)，
∴HM=EM.在Rt△HDE中，HM=EM，
∴DM=HM=ME，
∴DM=ME.
(1)DM=ME
(2)解：连接AE.
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，
∴AE和EC在同一条直线上，在Rt△ADF中，AM=MF，
∴DM=AM=MF，在Rt△AEF中，AM=MF，
∴AM=MF=ME，
∴DM=ME.