《2025年新课程新教材导航学数学九年级上册北师大版》

7. 如图，在 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，过点 $C$ 的直线 $MN// AB$，$D$ 为 $AB$ 边上一点，过点 $D$ 作 $DE\perp BC$，交直线 $MN$ 于点 $E$，垂足为点 $F$，连接 $CD$，$BE$。
（1）求证：$CE = AD$。
（2）当 $D$ 为 $AB$ 的中点时，四边形 $BECD$ 是什么特殊四边形？并说明你的理由。
（3）若 $D$ 为 $AB$ 的中点，则当 $\angle A$ 的大小满足什么条件时，四边形 $BECD$ 是正方形？请说明你的理由。

答案： 7.
(1)证明:
∵DE⊥BC,
∴∠DFB=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠DFB,
∴AC//DE.
∵MN//AB,即CE//AD,
∴四边形ADEC是平行四边形,
∴CE=AD.
(2)解:四边形BECD是菱形.理由如下:
∵D为AB 的中点，
∴AD=BD.
∵CE=AD,
∴BD=CE.
∵BD//CE,
∴四边形BECD是平行四边形.
∵∠ACB=90°,D为AB的中点,
∴CD=BD,
∴四边形BECD是菱形.
(3)解:当∠A=45°时,四边形BECD是正方形.理由如下:
∵∠ACB=90°,∠A=45°,
∴∠ABC=∠A=45°,
∴AC=BC.
∵D为AB的中点,
∴CD⊥AB,
∴∠CDB=90°.由
(2)知四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形，即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形.

8. 如图 $1$，$\angle QPN$ 的顶点 $P$ 在正方形 $ABCD$ 的两条对角线的交点处，$\angle QPN=\alpha$，将 $\angle QPN$ 绕点 $P$ 旋转，旋转过程中 $\angle QPN$ 的两边分别与正方形 $ABCD$ 的边 $AD$ 和 $CD$ 交于点 $E$ 和点 $F$（点 $F$ 与点 $C$，$D$ 不重合）。
（1）如图 $1$，当 $\alpha = 90^{\circ}$ 时，$DE$，$DF$，$AD$ 之间的数量关系是________________。
（2）如图 $2$，将图 $1$ 中的正方形 $ABCD$ 改为 $\angle ADC = 120^{\circ}$ 的菱形，其他条件不变，当 $\alpha = 60^{\circ}$ 时，（1）中的结论变为 $DE + DF=\frac{1}{2}AD$，请给出证明。
（3）在（2）的条件下，若旋转过程中 $\angle QPN$ 的边 $PQ$ 与射线 $AD$ 交于点 $E$，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，$DE$，$DF$，$AD$ 之间的数量关系，请直接写出结论，不要求证明。

答案： 8.
(1)DE+DF=AD.
(2)证明:取AD的中点M,连接PM.
∵四边形ABCD为∠ADC=120°的菱形，
∴BD=AD,∠DAP=30°,∠ADP=∠CDP=60°,
∴PD=MD=$\frac{1}{2}$AD,
∴△MDP是等边三角形，
∴PM=PD,∠PME=∠PDF=60°.又
∵∠MPD=60°,∠QPN=α=60°,
∴∠MPE+∠QPD=∠FPD+∠QPD,即∠MPE=∠FPD,
∴△MPE≌△DPF (ASA),
∴ME=DF,
∴DE+DF=DE+ME=$\frac{1}{2}$AD.
(3)在整个运动变化过程中，①当点E落在AD上时,DE+DF=$\frac{1}{2}$AD.②当点E落在AD的延长线上时,DF−DE=$\frac{1}{2}$AD.