《2025年培优课堂七年级数学上册华师大版四川专版》

例2 已知$ab = 1$,$a - b = -3$,求$ab + 2a - 2b$的值。

答案： 解:因为$ab=1$,$a-b=-3$,所以$ab+2a-2b=ab+2(a-b)=1+2×(-3)=-5$.

9. 已知$a + b = \frac{1}{2}$,则$4a + 4b + 2024$的值是(D)
A.$2023$
B.$2024$
C.$2025$
D.$2026$

答案： D

10. 已知$a - b = 2$,则代数式$2b - 2a + 3$的值是(A)
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$

答案： A

11. $a$、$b$是两个给定的整数,某同学分别计算当$x = -1$,$1$,$2$,$4$时,代数式$ax + b$的值,依次得到下列四个结果,已知其中有三个是正确的,那么错误的一个是(A)
A.$-a + b = 1$
B.$a + b = 5$
C.$2a + b = 8$
D.$4a + b = 14$

答案： A

12. 【阅读理解】
“整体思想”是一种重要的数学思想方法,在多项式的化简求值中应用极为广泛。
例如,已知$x^{2} + x = 0$,求$x^{2} + x + 1186$的值。我们将$x^{2} + x$作为一个整体代入,则原式$= 0 + 1186 = 1186$。
【尝试应用】
仿照上面的解题方法,回答下面的问题：
(1)若$x^{2} + x = 2$,则$x^{2} + x + 2024 = $2026；
(2)如果$a - b = 6$,求$2(a - b) + 4a - 4b + 21$的值。
【拓展探索】
(3)如果$a^{2} + 2ab = 6$,$b^{2} + 2ab = 4$,求$a^{2} + b^{2} + 4ab$的值。

答案：
(1)2026
解:
(2)原式$=2(a-b)+4(a-b)+21=6(a-b)+21$.因为$a-b=6$,所以原式$=6×6+21=57$.所以$2(a-b)+4a-4b+21=57$.
(3)原式$=a^{2}+b^{2}+2ab+2ab=(a^{2}+2ab)+(b^{2}+2ab)=6+4=10$.所以$a^{2}+b^{2}+4ab=10$.

13. 阅读材料：
“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。例如,已知$a^{2} + 2a = 1$,则代数式$2a^{2} + 4a + 4 = 2(a^{2} + 2a) + 4 = 2×1 + 4 = 6$。
请根据以上材料,解答下列问题：
(1)若$x^{2} - 3x = 2$,则$\frac{1}{2}x^{2} - \frac{3}{2}x - 1$的值为0；
(2)当$x = 1$时,代数式$px^{3} + qx + 1的值是5$,求当$x = -1$时,代数式$px^{3} + qx + 1$的值；
(3)当$x = 2024$时,代数式$ax^{5} + bx^{3} + cx - 5的值为m$,求当$x = -2024$时,代数式$ax^{5} + bx^{3} + cx - 5$的值(用含$m$的式子表示)。

答案：
(1)0
解:
(2)依题意,得当$x=1$时,$p+q+1=5$,即$p+q=4$.所以当$x=-1$时,$px^{3}+qx+1=-p-q+1=-(p+q)+1=-4+1=-3$.
(3)因为当$x=2024$时,代数式$ax^{5}+bx^{3}+cx-5$的值为$m$,所以$2024^{5}a+2024^{3}b+2024c-5=m$.所以$2024^{5}a+2024^{3}b+2024c=m+5$.所以当$x=-2024$时,$ax^{5}+bx^{3}+cx-5=-2024^{5}a-2024^{3}b-2024c-5=-(2024^{5}a+2024^{3}b+2024c)-5=-(m+5)-5=-m-10$.

14. 已知$(2x + 1)^{4} = ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e$。
(1)求$a + b + c + d + e$的值；
(2)求$a + b + c + d$的值。

答案： 解:
(1)因为$(2x+1)^{4}=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$,所以当$x=1$时,$(2×1+1)^{4}=a\cdot1^{4}+b\cdot1^{3}+c\cdot1^{2}+d\cdot1+e$.所以$a+b+c+d+e=3^{4}=81$.
(2)当$x=0$时,$1^{4}=a\cdot0^{4}+b\cdot0^{3}+c\cdot0^{2}+d\cdot0+e$,所以$e=1$.所以$a+b+c+d=80$.