《2025年培优课堂七年级数学上册华师大版四川专版》

4. 若$x是不等于1$的实数,我们就把$\dfrac{1}{1 - x}称为x$的差倒数,如$2的差倒数是\dfrac{1}{1 - 2}= -1$,$-1的差倒数为\dfrac{1}{1 - (-1)}= \dfrac{1}{2}$。现已知$x_1 = -\dfrac{1}{3}$,$x_2是x_1$的差倒数,$x_3是x_2$的差倒数,$x_4是x_3$的差倒数……以此类推。
(1)分别求出$x_2$、$x_3$、$x_4$的值；
(2)求$x_1\cdot x_2\cdot x_3$的值；
(3)求$x_1\cdot x_2…\cdot\cdot x_{2024}$的值。

答案：
(1)根据题意,得$x_{2}=\frac{1}{1-(-\frac{1}{3})}=\frac{3}{4}$,$x_{3}=\frac{1}{1-\frac{3}{4}}=4$,$x_{4}=\frac{1}{1-4}=-\frac{1}{3}$.
(2)$x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}=(-\frac{1}{3})×\frac{3}{4}×4=-1$.
(3)由
(1)知,该数列的循环周期为3,所以$2024÷3=674\cdots\cdots2$.所以$x_{1}\cdot x_{2}\cdot\cdots\cdot x_{2024}=(-\frac{1}{3})×\frac{3}{4}×4×(-\frac{1}{3})×\frac{3}{4}×4×\cdots×(-\frac{1}{3})×\frac{3}{4}×(-\frac{1}{3})×\frac{3}{4}=(-1)^{674}×(-\frac{1}{3})×\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}$.

5. 我们知道：在研究和解决数学问题时,当问题所给对象不能进行统一研究时,我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点,将对象区分为不同种类,然后逐类进行研究和解决,最后综合各类结果以解决整个问题,这一思想方法称为“分类讨论思想”。这一数学思想用处非常广泛,我们经常用这种方法解决问题。例如,我们在讨论$\vert a\vert$的值时,就会对$a$进行分类讨论,当$a\geqslant0$时,$\vert a\vert = a$；当$a\lt0$时,$\vert a\vert = -a$。现在请你利用这一思想解决下列问题：
(1)$\dfrac{8}{\vert8\vert}=$1；$\dfrac{-3}{\vert - 3\vert}=$-1。
(2)$\dfrac{a}{\vert a\vert}=$1或-1$(a\neq0)$,$\dfrac{a}{\vert a\vert}+\dfrac{b}{\vert b\vert}=$2或0(其中$a\gt0$,$b\neq0$)。
(3)若$abc\neq0$,求$\dfrac{a}{\vert a\vert}+\dfrac{b}{\vert b\vert}+\dfrac{c}{\vert c\vert}+\dfrac{abc}{\vert abc\vert}$的所有可能的值。
解:①当$a＞0$,$b＞0$,$c＞0$时,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}+\frac{abc}{|abc|}=1+1+1+1=4$;②当a、b、c三个字母中有一个字母小于0,其他两个字母大于0时,不妨设$a＞0$,$b＞0$,$c＜0$,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}+\frac{abc}{|abc|}=1+1-1-1=0$;③当a、b、c三个字母中有一个字母大于0,其他两个字母小于0时,不妨设$a＞0$,$b＜0$,$c＜0$,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}+\frac{abc}{|abc|}=1-1-1+1=0$;④当$a＜0$,$b＜0$,$c＜0$时,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}+\frac{abc}{|abc|}=-1-1-1-1=-4$.综上所述,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}+\frac{abc}{|abc|}$的所有可能的值为$\pm4$,0.

答案：
(1)1 -1
(2)1或-1 2或0
(3)解:①当$a＞0$,$b＞0$,$c＞0$时,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}+\frac{abc}{|abc|}=1+1+1+1=4$;②当a、b、c三个字母中有一个字母小于0,其他两个字母大于0时,不妨设$a＞0$,$b＞0$,$c＜0$,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}+\frac{abc}{|abc|}=1+1-1-1=0$;③当a、b、c三个字母中有一个字母大于0,其他两个字母小于0时,不妨设$a＞0$,$b＜0$,$c＜0$,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}+\frac{abc}{|abc|}=1-1-1+1=0$;④当$a＜0$,$b＜0$,$c＜0$时,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}+\frac{abc}{|abc|}=-1-1-1-1=-4$.综上所述,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}+\frac{abc}{|abc|}$的所有可能的值为$\pm4$,0.