《2025年培优课堂七年级数学上册华师大版四川专版》

15. 已知$ O 为直线 AB $上一点,将三角板$ MON 的直角顶点放在点 O $处,并在$ \angle MON 内部作射线 OC $.
(1)如图1,三角板的一边$ ON 与射线 OB $重合,且$ \angle AOC = 150^{\circ} $,若以点$ O $为观察中心,射线$ OM $表示正北方向,求射线$ OC $表示的方向；
(2)如图2,将三角板放置到如图位置,使$ OC 恰好平分 \angle MOB $,且$ \angle BON = 2\angle NOC $,求$ \angle AOM $的度数；
(3)若仍将三角板按照如图2的方式放置,仅满足$ OC 平分 \angle MOB $,试猜想$ \angle AOM 与 \angle NOC $之间的数量关系,并说明理由.

答案： 解:
(1)因为∠MOC=∠AOC - ∠AOM=150° - 90°=60°,所以射线OC表示的方向为北偏东60°.
(2)因为∠BON=2∠NOC,OC平分∠MOB,
所以∠MOC=∠BOC=3∠NOC.
因为∠MOC+∠NOC=∠MON=90°,
所以3∠NOC+∠NOC=90°.所以4∠NOC=90°.
所以∠BON=2∠NOC=45°.所以∠AOM=180° - ∠MON - ∠BON=180° - 90° - 45°=45°.
(3)∠AOM=2∠NOC.理由如下:
令∠NOC=β,∠AOM=γ,则∠MOC=∠BOC=90° - β.
因为∠AOM+∠MOC+∠BOC=180°,
所以γ+90° - β+90° - β=180°.
所以γ - 2β=0°,即γ=2β.所以∠AOM=2∠NOC.