《2025年培优课堂七年级数学上册华师大版四川专版》

例4 填空：
(1)当 $ x = $_____3时,$ | x - 3 | $ 有最小值,为_____0；

答案： 3 0

(2)当 $ x = $_____2时,$ 3 + | 2 x - 4 | $ 有最_____小值,为_____3；

答案： 2 小 3

(3)当 $ x = $_____2时,$ 5 - 2 | x - 2 | $ 有最_____大值,为_____5。

答案： 2 大 5

10. 式子 $ | x - 2 | + 1 $ 的最小值是 (B)
A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $

答案： B

11. 当式子 $ 3 - | x - 1 | $ 取得最大值时,$ x $ 等于 (A)
A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

答案： A

例5 我们知道,$ | a | $ 可以理解为 $ | a - 0 | $,它表示数轴上表示数 $ a $ 的点到原点的距离,这是绝对值的几何意义。进一步地,数轴上的两个点 $ A 、 B $ 分别用数 $ a 、 b $ 表示,那么 $ A 、 B $ 两点之间的距离为 $ AB = | a - b | $,反过来,式子 $ | a - b | $ 的几何意义是：数轴上表示数 $ a $ 的点和表示数 $ b $ 的点之间的距离。利用此结论,回答以下问题。
(1)数轴上表示数 $ 8 $ 的点和表示数 $ 3 $ 的点之间的距离是5,数轴上表示数 $ - 2 $ 的点和表示数 $ 5 $ 的点之间的距离是7,数轴上表示数 $ - 1 $ 的点和表示数 $ - 3 $ 的点之间的距离是2；
(2)数轴上点 $ A $ 用数 $ a $ 表示,若 $ | a | = 5 $,则 $ a $ 的值是±5；
(3)数轴上点 $ A $ 用数 $ a $ 表示,若 $ | a - 3 | = 5 $,利用数轴及绝对值的几何意义写出 $ a $ 的值是-2或8。

答案：
(1)5 7 2；
(2)±5；
(3)-2或8

12. 数轴是一个非常重要的数学工具,它使数和数轴上的点建立起对应关系,揭示了数与点之间的内在联系,它是“数形结合”的基础。例如,从“形”的角度看：$ | 3 - 1 | $ 可以理解为数轴上表示 $ 3 $ 和 $ 1 $ 的两点之间的距离；$ | 3 + 1 | $ 可以理解为数轴上表示 $ 3 $ 与 $ - 1 $ 的两点之间的距离。从“数”的角度看：数轴上表示 $ 4 $ 和 $ - 3 $ 的两点之间的距离可用代数式表示为 $ 4 - ( - 3 ) $。根据以上阅读材料,回答下列问题。
(1)数轴上表示 $ 2 $ 和 $ - 5 $ 的两点之间的距离是7；$ | 6 - 4 | = $2；$ | - 2 - 4 | = $6。
(2)等式 $ | x - 2 | = 4 $ 的几何意义：数轴上表示x和2的两点之间的距离是4,则 $ x $ 的值是6或-2。
(3)若 $ x $ 为数轴上某动点表示的数,则式子 $ | x - 1 | + | x - 3 | $ 有最小值吗？若有,求出最小值；若没有,写出理由。
解:式子|x-1|+|x-3|有最小值,且最小值为2.理由如下:
因为|x-1|+|x-3|表示x到1和3的距离之和,
所以当x在1和3之间时,距离之和最小,最小值为2.

答案：
(1)7 2 6；
(2)数轴上表示x和2的两点之间的距离是4 6或-2；
(3)解:式子|x-1|+|x-3|有最小值,且最小值为2.理由如下:
因为|x-1|+|x-3|表示x到1和3的距离之和,
所以当x在1和3之间时,距离之和最小,最小值为2.