《2025年培优课堂七年级数学上册华师大版四川专版》

7. 【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数(均不等于 $0$)的除法运算叫做除方,如 $2÷2÷2$,$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$ 等。类比有理数的乘方,我们把 $2÷2÷2$ 记作,读作“$2$ 的圈 $3$ 次方”,$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$ 记作 ,读作“$-3$ 的圈 $4$ 次方”,一般地,把 $\underbrace{a÷ a÷…÷ a}_{n个a}(a\neq0)$ 记作 a^{\enclose{circle}{n}},读作“$a$ 的圈 $n$ 次方”。
【初步探究】
(1) 直接写出计算结果：= $\frac{1}{2}$；= -8。
(2) 关于除方,下列说法错误的是C。
A. 任何非零数的圈 $2$ 次方都等于 $1$
B. 对于任何正整数 $n$,$1$ 的圈 $n$ 次方都等于 $1$
C.
D. 负数的圈奇数次方结果是负数,负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

(3) 试一试：仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成幂的形式。
$(-3)$ 的圈 $4$ 次方 =$\frac{1}{3^{2}}$；$5$ 的圈 $5$ 次方 =$\frac{1}{5^{3}}$；$(-\frac{1}{2})$ 的圈 $6$ 次方 =$2^{4}$。
(4) 想一想：将一个非零有理数 $a$ 的圈 $n$ 次方写成幂的形式为$\frac{1}{a^{n-2}}$。
(5) 算一算：24÷$2^{3}$ + (-8)×。
解:原式=$24÷8+(-8)×\frac{1}{2}=3-4=-1$

答案： 7.
(1)$\frac{1}{2}$ -8
(2)C
(3)$\frac{1}{3^{2}}$ $\frac{1}{5^{3}}$ $2^{4}$
(4)$\frac{1}{a^{n-2}}$
(5)解:原式=$24÷8+(-8)×\frac{1}{2}=3-4=-1$.

8. 通过前面的学习我们知道：
$a^{2} = a\cdot a$,$a^{3} = a\cdot a\cdot a$,$a^{n} = a\cdot a…\cdot\cdot a$($n$ 个 $a$)。
(1) 探索发现：$(3×4)^{2} = $144,$3^{2}×4^{2} = $144；
你发现：$(3×4)^{2}$ 的值与 $3^{2}×4^{2}$ 的值相等；猜想：$(a\cdot b)^{n}$=$a^{n}\cdot b^{n}$。
(2) 解决问题：利用(1)的结论尝试计算。
① $(-5)^{10}×(\frac{1}{5})^{10}$；
② $(-\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1)^{2024}×(4×3×2×1)^{2023}$。
①$(-5)^{10}×(\frac{1}{5})^{10}=(-5×\frac{1}{5})^{10}=1$.
②$(-\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1)^{2024}×(4×3×2×1)^{2023}$
$=(-\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1)^{2023}×(4×3×2×1)^{2023}×(-\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1)$
$=(-\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×4×3×2×1)^{2023}×(-\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1)=(-1)^{2023}×(-\frac{1}{24})=\frac{1}{24}$.

答案： 8.
(1)144 144 相等 =
(2)解:①$(-5)^{10}×(\frac{1}{5})^{10}=(-5×\frac{1}{5})^{10}=1$.
②$(-\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1)^{2024}×(4×3×2×1)^{2023}$
$=(-\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1)^{2023}×(4×3×2×1)^{2023}×(-\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1)$
$=(-\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×4×3×2×1)^{2023}×(-\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1)=(-1)^{2023}×(-\frac{1}{24})=\frac{1}{24}$.