《2025年培优课堂七年级数学上册华师大版四川专版》

10. 在学习完“有理数”后,奇奇同学对运算产生了浓厚的兴趣。借助有理数的运算,他定义了一种新运算“$ \oplus $”,规则如下：$ a \oplus b = a·b + 2·a $。
(1) 求 $ 2 \oplus (-1) $ 的值；
(2) 当 $ a \neq b $ 时,这种新定义的运算是否满足交换律,即 $ a \oplus b = b \oplus a $ 是否成立,请说明理由。

答案：
(1)2⊕(-1)=2×(-1)+2×2=-2+4=2.
(2)因为a⊕b=a·b+2·a=ab+2a,b⊕a=b·a+2·b=ab+2b,a≠b,所以a⊕b≠b⊕a.所以当a≠b时,这种新定义的运算不满足交换律.

11. 定义：若 $ x - y = m $,则称 $ x $ 与 $ y $ 是关于 $ m $ 的相关数。
(1) 若 5 与 $ a $ 是关于 2 的相关数,则 $ a = $ 3；
(2) 若 $ A $ 与 $ B $ 是关于 $ m $ 的相关数,$ A = 3mn - 5m + n + 6 $,$ B $ 的值与 $ m $ 无关,求 $ B $ 的值。
解:因为A-B=m,所以3mn-5m+n+6-B=m.所以B=3mn-5m+n+6-m=(3n-6)m+n+6.因为B的值与m无关,所以3n-6=0.所以n=2.所以B=2+6=8.故B的值为8.

答案：
(1)3
(2)解:因为A-B=m,所以3mn-5m+n+6-B=m.所以B=3mn-5m+n+6-m=(3n-6)m+n+6.因为B的值与m无关,所以3n-6=0.所以n=2.所以B=2+6=8.故B的值为8.

12. 2023 年 6 月 4 日,神舟十五号载人飞船返回舱成功着陆,结合这么具有纪念意义的历史时刻,王老师给出一个新定义：$ A $、$ B $ 的两个整式,如果 $ 2A + 3B = 124 $,那么 $ A $ 叫做 $ B $ 的“神舟式”。
(1) 若 $ A = -3x + 5 $,$ B = -5x - 4 $,当 $ x = -6 $ 时,求 $ A $、$ B $ 的值,请你判断此时 $ A $ 是否为 $ B $ 的“神舟式”,并说明理由；
(2) 若 $ A = -x^2 - 3x + 5 $,$ A $ 是 $ B $ 的“神舟式”,求整式 $ B $。

答案：
(1)A是B的“神舟式”.理由:当x=-6时,A=-3×(-6)+5=23,B=(-5)×(-6)-4=26,所以2A+3B=2×23+3×26=124.所以A是B的“神舟式”.
(2)因为A是B的“神舟式”,所以2A+3B=124.所以B=1/3(124-2A)=1/3×[124-2(-x²-3x+5)]=2/3x²+2x+38.

13. 定义：若 $ a + b = 6 $,则称 $ a $ 与 $ b $ 是关于 6 的实验数。
(1) 4 与 2是关于 6 的实验数；代数式 1+2x与 $ 5 - 2x $ 是关于 6 的实验数。
(2) 若 $ a = x^2 - 4x + 2 $,$ b = x^2 - 2(x^2 - 2x - 2) $,判断 $ a $ 与 $ b $ 是不是关于 6 的实验数,说明理由。
(2)a与b是关于6的实验数.理由:因为a+b=x²-4x+2+x²-2(x²-2x-2)=x²-4x+2+x²-2x²+4x+4=6,所以a与b是关于6的实验数.
(3) 若 $ c $ 与 $ d $ 是关于 6 的实验数,且 $ c = -2(3x^2 - 4x - 1) $,求 $ d $ 的值。
(3)由题意,得c+d=6.因为c=-2(3x²-4x-1),所以d=6+2(3x²-4x-1)=6x²-8x+4.

答案：
(1)2 1+2x
(2)a与b是关于6的实验数.理由:因为a+b=x²-4x+2+x²-2(x²-2x-2)=x²-4x+2+x²-2x²+4x+4=6,所以a与b是关于6的实验数.
(3)由题意,得c+d=6.因为c=-2(3x²-4x-1),所以d=6+2(3x²-4x-1)=6x²-8x+4.

14. 定义一种新的运算“$ □ $”,观察下列各式：
$ 1□2 = 1 + 2×3 = 7 $；
$ 4□(-1) = 4 + (-1)×3 = 1 $；
$ (-3)□2 = -3 + 2×3 = 3 $；
$ (-6)□(-4) = -6 + (-4)×3 = -18 $；
…
(1) 请你用代数式表示 $ m□ n $ 的结果；
(2) 小丁说：“$ (-3n)□(-m) $ 与 $ (3m)□ n $ 互为相反数。”小丁的说法正确吗？如果正确,请说明理由；如果不正确,请举例说明。

答案：
(1)由题意,得m□n=m+3n.
(2)小丁的说法正确.理由如下:由题意,得(-3n)□(-m)=-3n+3(-m)=-3m-3n,(3m)□n=3m+3n.因为-3m-3n+3m+3n=0,所以(-3n)□(-m)与(3m)□n互为相反数.所以小丁的说法正确.