《2025年培优课堂七年级数学上册华师大版四川专版》

5. 如图,在数轴上,点$A表示数-10$,点$B表示数6$.

(1)$A$、$B$两点之间的距离等于16.
(2)若点$A与点C之间的距离表示为AC$,点$B与点C之间的距离表示为BC$,请在数轴上找一点$C$,使$AC = BC$,则点$C$表示的数是-2.
(3)若在原点$O的左边2$个单位长度处放一挡板,一小球$P从点A$出发,以$4$个单位长度/秒的速度向右运动；同时另一小球$Q从点B$出发,以$2$个单位长度/秒的速度向左运动,在碰到挡板后(忽略球的大小,可看作一点)两球分别以原来的速度向相反的方向运动,设运动时间为$t$秒,已知在小球$Q开始运动的前两秒和触碰到挡板返回至点B$的过程中,对应的$3BQ + PQ$的值是定值,请分别求出相应定值.

答案：
(1)16
(2)-2
(3)解:①当小球Q开始运动的前两秒中,BQ=2t,AP=4t,
所以PQ=16-4t-2t=16-6t.
故3BQ+PQ=3·2t+16-6t=6t+16-6t=16.
所以当小球Q开始运动的前两秒中,3BQ+PQ的定值是16;
②当小球Q触碰到挡板返回至点B的过程中,BQ=8×2-2t=16-2t,所以CQ=BC-BQ=2t-8.
而PC=4t-8,
所以PQ=PC+CQ=6t-16.
故3BQ+PQ=3(16-2t)+(6t-16)=32.
所以当小球Q触碰到挡板返回至点B的过程中,3BQ+PQ的定值是32.
综上,当小球Q开始运动的前两秒中,3BQ+PQ的定值是16;当小球Q触碰到挡板返回至点B的过程中,3BQ+PQ的定值是32.

6. 数轴是学习有理数的一种重要工具,任何有理数都可以用数轴上的点表示,这样能够运用数形结合的方法解决一些问题.如图,将一条数轴在原点$O$、点$B$、点$C$、点$D$处各折一下,得到一条“坡面数轴”.图中点$A表示-8$,点$B表示8$,点$C表示16$,点$D表示24$,点$E表示28$,我们称点$A和点E在数轴上相距36$个单位长度.动点$P从点A$出发,以$4$个单位长度/秒的速度沿着“坡面数轴”的正方向运动,同时,动点$Q从点E$出发,以$2$个单位长度/秒的速度沿着数轴的负方向运动,两点上坡时速度均变为初始速度的一半,下坡时速度均变为初始速度的$2$倍,平地则保持初始速度不变.当点$P运动至点E$时,两点同时停止运动,设运动的时间为$t$秒.
(1)动点$P从点A运动至点E$需要10秒,此时点$Q$所对应的数是16；
(2)$P$、$Q两点在点M$处相遇,求出相遇点$M$所对应的数是多少；
解:
由(1)可知,P、Q两点在点M处相遇时,点M在C-D-E段,动点P由点A到点C的用时为8÷4+8÷2+8÷4=8(秒),动点Q从点E到点D的用时为4÷2=2(秒).
因为(8-2)×$\frac{1}{2}$×2=6,所以当动点P到达点C时,点Q与点P的距离为8-6=2.
因为$\frac{2}{8+1}$=$\frac{2}{9}$(秒),
所以此时P、Q两点再运动$\frac{2}{9}$秒在点M处相遇.
所以点M所对应的数为16+$\frac{2}{9}$×8=17$\frac{7}{9}$.
(3)求当$t$为何值时,$P$、$B两点在数轴上相距的长度是Q$、$D两点在数轴上相距长度的2$倍.
解:
①当点P在OA段时,点Q在DE段,此时PB大于8,QD小于4,不符合题意.
②当点P在OB段时,点Q在CD段,此时PB=OB-(t-2)×2=12-2t,QD=(t-2)×1=t-2,
所以12-2t=2(t-2),解得t=4.
③当点P在BC段时,点Q在CD段,
此时PB=(t-6)×4=4t-24,QD=(t-2)×1=t-2,
所以4t-24=2(t-2),解得t=10.
因为t=8时,点P已运动到点C,
所以t=10不符合题意.
④当点P在CD段时,点Q在CD段,此时PB=8+(t-8)×8=8t-56,QD=(t-2)×1=t-2,
所以8t-56=(t-2)×2,解得t=$\frac{26}{3}$.
⑤当点P在DE段时,点Q在CD段,不符合题意.
综上所述,当t的值为4或$\frac{26}{3}$时,P、B两点在数轴上相距的长度是Q、D两点在数轴上相距长度的2倍.

答案：
(1)10 16
解:
(2)由
(1)可知,P、Q两点在点M处相遇时,点M在C-D-E段,动点P由点A到点C的用时为8÷4+8÷2+8÷4=8(秒),动点Q从点E到点D的用时为4÷2=2(秒).
因为(8-2)×$\frac{1}{2}$×2=6,所以当动点P到达点C时,点Q与点P的距离为8-6=2.
因为$\frac{2}{8+1}$=$\frac{2}{9}$(秒),
所以此时P、Q两点再运动$\frac{2}{9}$秒在点M处相遇.
所以点M所对应的数为16+$\frac{2}{9}$×8=17$\frac{7}{9}$.
(3)①当点P在OA段时,点Q在DE段,此时PB大于8,QD小于4,不符合题意.
②当点P在OB段时,点Q在CD段,此时PB=OB-(t-2)×2=12-2t,QD=(t-2)×1=t-2,
所以12-2t=2(t-2),解得t=4.
③当点P在BC段时,点Q在CD段,
此时PB=(t-6)×4=4t-24,QD=(t-2)×1=t-2,
所以4t-24=2(t-2),解得t=10.
因为t=8时,点P已运动到点C,
所以t=10不符合题意.
④当点P在CD段时,点Q在CD段,此时PB=8+(t-8)×8=8t-56,QD=(t-2)×1=t-2,
所以8t-56=(t-2)×2,解得t=$\frac{26}{3}$.
⑤当点P在DE段时,点Q在CD段,不符合题意.
综上所述,当t的值为4或$\frac{26}{3}$时,P、B两点在数轴上相距的长度是Q、D两点在数轴上相距长度的2倍.