《2025年培优课堂七年级数学上册华师大版四川专版》

6. 新定义：符号“$f$”表示一种新运算,它对一些数的运算结果如下：
运算一：$f(-2)= -2 - 1 = -3$,$f(-1)= -1 - 1 = -2$,$f(0)= 0 - 1 = -1$,$f(1)= 1 - 1 = 0$,$f(2)= 2 - 1 = 1……$
运算二：$f(-\frac{1}{3})= -3$,$f(-\frac{1}{2})= -2$,$f(\frac{1}{2})= 2$,$f(\frac{1}{3})= 3……$
利用以上规律计算：
(1) $f(10)=$9,$f(-10)=$−11,$f(\frac{1}{10})=$10,$f(-\frac{1}{10})=$−10；
(2) $f(-2023)-f(-\frac{1}{2024})=$0；
(3) $f(-5)+f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(-\frac{1}{2})+f(-\frac{1}{3})+f(-\frac{1}{4})+f(-\frac{1}{5})$。
解:原式=(−6)+(−5)+(−4)+(−3)+(−2)+(−1)+0+(−2)+(−3)+(−4)+(−5)=−35.

答案： 6.
(1)9　−11　10　−10　
(2)0
(3)解:原式=(−6)+(−5)+(−4)+(−3)+(−2)+(−1)+0+(−2)+(−3)+(−4)+(−5)=−35.

7. 【阅读与实践】
材料 1：点$A$、$B在数轴上对应的数分别为a$、$b$,我们把数轴上$A$、$B两点之间的距离AB表示为\vert a - b\vert$。
材料 2：数轴上的两点$A$、$B对应的数分别为a$、$b$,我们把点$A与表示数b的相反数的点之间的距离称为A$、$B$两点之间的“反距离”,记作$\vert a - (-b)\vert$。
阅读材料 1,2,回答下列问题：
(1) 数轴上表示$-10和5$的两点之间的距离是15；数轴上表示$15和6$的两点之间的距离是9；
(2) 数轴上表示$a和-3$的两点之间的距离表示为|a−(−3)|=|a+3|；
(3) 数轴上表示数$9和-4$的两点之间的“反距离”是5,数轴上表示$-2和6$的两点之间的“反距离”是4；
(4) 数轴上表示数$a和-7$两点之间的“反距离”表示为|a−7|；
(5) 如果一个点在数轴上对应的数为$m$,它与最小的正整数所表示的点之间的“反距离”为$2024$,则$m$的值是−2025或2023。

答案： 7.
(1)15　9　
(2)|a−(−3)|=|a+3|　
(3)5　4
(4)|a−7|　
(5)−2025或2023

8. 绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。例如,$\vert 3\vert是指数轴上表示3$的点到原点的距离,$\vert -6\vert是指数轴上表示-6$的点到原点的距离。
【概念延伸】
(1) 数轴上表示$2和5$的两点之间的距离是3,$\vert 2 - 5\vert=$3；
(2) 数轴上表示$-2和-5$的两点之间的距离是3,$\vert (-2)-(-5)\vert=$3；
(3) 数轴上表示$1和-3$的两点之间的距离是4,$\vert 1 - (-3)\vert=$4。
【归纳总结】
(4) 点$A$、$B在数轴上分别表示有理数a$、$b$,$A$、$B两点之间的距离表示为\vert AB\vert$,则$\vert AB\vert=$|a-b|。
【拓展应用】
(5) 数轴上表示数$x和1的两点A和B之间的距离为\vert AB\vert=\vert x - 1\vert$,则$\vert x - 1\vert$的最小值是0,此时$x$的值为1。
(6) 数轴上表示数$x和-1的两点A和B之间的距离为\vert AB\vert=$|x+1|,如果$\vert AB\vert = 2$,那么$x$的值为−3或1。
(7) 式子$\vert x + 1\vert+\vert x - 2\vert$有最小值吗？若有,请求出它的最小值。
解:因为|x+1|+|x-2|=|x-(-1)|+|x-2|,
所以|x+1|+|x-2|表示数轴上的点到表示-1的点的距离与到表示2的点的距离之和.
所以当-1≤x≤2时,|x+1|+|x-2|的值最小,最小值为3.

答案： 8.
(1)3　3　
(2)3　3
(3)4　4　
(4)|a-b|　
(5)0　1　
(6)|x+1|　　−3或1
(7)解:因为|x+1|+|x-2|=|x-(-1)|+|x-2|,
所以|x+1|+|x-2|表示数轴上的点到表示-1的点的距离与到表示2的点的距离之和.
所以当-1≤x≤2时,|x+1|+|x-2|的值最小,最小值为3.