《2025年培优课堂七年级数学上册华师大版四川专版》

12. 求$ 2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{99} + 2^{100} $的值,直接计算较困难,因为$ 2^{100} $是一个非常大的数.因此,我们用解方程的方法来求解.
解：设$ x = 2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{99} + 2^{100} $.①
所以$ 2x = 2 × (2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{99} + 2^{100}) $,
即$ 2x = 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{100} + 2^{101} $.②
② - ①,得$ 2x - x = 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{100} + 2^{101} - (2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{99} + 2^{100}) $
$ = 2^{101} - 2 $.
所以原式$ = 2^{101} - 2 $.
请你在理解的基础上,模仿上述方法求下列各式的值：
(1)$ 2^{101} - 2^{1} - 2^{2} - 2^{3} - 2^{4} - … - 2^{99} - 2^{100} = $2；
(2)$ 1 + 3^{1} + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + … + 3^{2023} + 3^{2024} $.
解:设y=1+3¹+3²+3³+3⁴+…+3²⁰²³+3²⁰²⁴①
所以3y=3×(1+3¹+3²+3³+3⁴+…+3²⁰²³+3²⁰²⁴),
即3y=3+3²+3³+3⁴+…+3²⁰²³+3²⁰²⁴+3²⁰²⁵.②
②-①,得3y-y=3+3²+3³+3⁴+…+3²⁰²³+3²⁰²⁴+3²⁰²⁵-(1+3¹+3²+3³+3⁴+…+3²⁰²³+3²⁰²⁴)=3²⁰²⁵-1.
所以2y=3²⁰²⁵-1.所以原式=$\frac{3^{2025}-1}{2}$.

答案：
(1)2
(2)解:设y=1+3¹+3²+3³+3⁴+…+3²⁰²³+3²⁰²⁴①
所以3y=3×(1+3¹+3²+3³+3⁴+…+3²⁰²³+3²⁰²⁴),
即3y=3+3²+3³+3⁴+…+3²⁰²³+3²⁰²⁴+3²⁰²⁵.②
②-①,得3y-y=3+3²+3³+3⁴+…+3²⁰²³+3²⁰²⁴+3²⁰²⁵-(1+3¹+3²+3³+3⁴+…+3²⁰²³+3²⁰²⁴)=3²⁰²⁵-1.
所以2y=3²⁰²⁵-1.所以原式=$\frac{3^{2025}-1}{2}$.

13. 如图所示,体育课上,小明的实心球成绩为9.6m,则他投出的实心球落在(C)

A.区域①
B.区域②
C.区域③
D.区域④

答案： C

14. 近似数$ 3.14 × 10^{3} $精确到(C)
A.百分位
B.个位
C.十位
D.百位

答案： C

15. 截至2月底,全国电影票房累计约3300000000元.数据3300000000用科学记数法表示为(C)
A.$ 33 × 10^{8} $
B.$ 3.3 × 10^{8} $
C.$ 3.3 × 10^{9} $
D.$ 3.3 × 10^{10} $

答案： C