《2025年培优课堂七年级数学上册华师大版四川专版》

7. 观察下列各式：
$1^{2}+1 = 1×2$；$2^{2}+2 = 2×3$；$3^{2}+3 = 3×4$……
请你将猜想的规律用自然数$n(n≥1)$表示出来：$n^{2}+n=n(n+1)$。

答案： $n^{2}+n=n(n+1)$

8. 同学们,你们还记得“青蛙绕口令”吗？
|一只青蛙一张嘴,两只眼睛四条腿,扑通一声跳下水。两只青蛙两张嘴,四只眼睛八条腿,扑通两声跳下水。|
若有a只青蛙,则用绕口令怎么说？请你用今天所学的知识解决这个问题。

答案： 解：由于青蛙的嘴数、跳下水的声音数和只数一样，眼睛数是只数的2倍，腿数是只数的4倍，所以当有$a$只青蛙时，青蛙的嘴数是$a$张，眼睛数是$2a$只，腿数是$4a$条.故绕口令为“$a$只青蛙$a$张嘴，$2a$只眼睛$4a$条腿，扑通$a$声跳下水．”

9. 用字母表示图中阴影部分的面积。

答案： 解：图1：$ab-bx$；图2：$R^{2}-\frac{1}{4}\pi R^{2}$．

10. 正方形的边长为a cm,边长增加2cm后,面积增加(D)
A.$4cm^{2}$
B.$(a^{2}+4)cm^{2}$
C.$[(a + 2)^{2}+a^{2}]cm^{2}$
D.$[(a + 2)^{2}-a^{2}]cm^{2}$

答案： D

11. 小明从一排座位的第m个开始数,一直数到第n个$(n＞m)$,他数过的座位数是(D)
A.$(m + n)$个
B.$(n - m)$个
C.$(n - m - 1)$个
D.$(n - m + 1)$个

答案： D

12. 如图1是一个三角形,分别连结这个三角形三边的中点,得到图2,再连结图2中间小三角形三边的中点,得到图3,按这样的方法进行下去,第n个图形中三角形的个数为(C)

A.$2n - 3$
B.$4n - 1$
C.$4n - 3$
D.$4n - 2$

答案： C

13. 如图,数轴上O、A两点间的距离为4,一动点P从点A出发,第1次跳动到AO的中点$A_{1}$处,第2次从点$A_{1}跳动到A_{1}O的中点A_{2}$处,第3次从点$A_{2}跳动到A_{2}O的中点A_{3}$处,按照这样的规律继续跳动到点$A_{4}$、$A_{5}$、$A_{6}$、…、$A_{n}$处,那么线段$A_{n}A$的长度为$4-(\frac{1}{2})^{n}×4$。

答案： $4-(\frac{1}{2})^{n}×4$

14. 【观察思考】如图是某同学在棋盘上用围棋子摆成的图案。

【规律发现】
(1)第⑤个图案中“●”的枚数为15,“○”的枚数为20；
(2)第n个图案中“●”的枚数为$\frac{n(n+1)}{2}$,“○”的枚数为$4n$；
【规律应用】
(3)该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案,摆放成完整的图案后,n的最大值为13；此时还剩下57枚棋子。

答案：
(1)15 20
(2)$\frac{n(n+1)}{2}$ $4n$
(3)13 57