《2025年考出好成绩八年级数学上册青岛版山东专版》

变式2.3 (1)通过计算下列各式的值探究问题：
$\sqrt{4^{2}}=$4；$\sqrt{0^{2}}=$0；$\sqrt{(-1)^{2}}=$1.
综上,对于任意有理数$a$,$\sqrt{a^{2}}=$|a|.
(2)应用(1)所得的结论解决问题：有理数$a$,$b$在数轴上对应点的位置如图所示：

化简：$\sqrt{a^{2}}-\sqrt{b^{2}}-\sqrt{(a - b)^{2}}+|a + b|$.
解:由图可知,a＜0＜b,|a|＞b,
∴ a-b＜0,a+b＜0,
∴ $\sqrt{a^2}-\sqrt{b^2}-\sqrt{(a-b)^2}+|a+b|$
=-a-b-b+a-a-b
=-a-3b.

答案： 解:
(1)4;0;1;|a|.
(2)由图可知,a＜0＜b,|a|＞b,
∴ a-b＜0,a+b＜0,
∴ $\sqrt{a^2}-\sqrt{b^2}-\sqrt{(a-b)^2}+|a+b|$
=-a-b-b+a-a-b
=-a-3b.

例3. 把下列各数填到相应的集合内(只填序号)：
①$2\sqrt{3}$；②$-\frac{1}{3}$；③$\sqrt[3]{-8}$；④0.54；⑤$0.1\dot{3}$；
⑥$\frac{\pi}{9}$；⑦0；⑧-23；⑨$(\sqrt{7})^{2}$；⑩0.3020020002…(相邻两个2之间,0的个数逐次加一).
有理数集合：…{}；
无理数集合：…{}；
正实数集合：…{}；
负实数集合：…{}.

答案： 有理数集合：…{②③④⑤⑦⑧⑨}；
无理数集合：…{①⑥⑩}；
正实数集合：…{①④⑤⑥⑨⑩}；
负实数集合：…{②③⑧}.

变式3.1 下列实数中,绝对值最小的数是(C)
A.$\sqrt{16}$
B.$(-\frac{1}{2})^{-1}$
C.$(-5)^{0}$
D.$\sqrt[3]{-8}$

答案： C

变式3.2 写出一个大小在$\sqrt[3]{27}和\sqrt{40}$之间的整数是4(答案不唯一).

答案： 4(答案不唯一)

变式3.3 如图,通过画边长为1的正方形,就能准确的把$\sqrt{2}表示在数轴上点A_{1}$处,记$A_{1}右侧最近的整数点为B_{1}$,以点$B_{1}$为圆心,$A_{1}B_{1}$为半径画半圆,交数轴于点$A_{2}$,记$A_{2}右侧最近的整数点为B_{2}$,以点$B_{2}$为圆心,$A_{2}B_{2}$为半径画半圆,交数轴于点$A_{3}$,如此继续,则$A_{2025}B_{2025}$的长为(B)

A.$\sqrt{2}-1$
B.$2-\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}-2$
D.$3-\sqrt{2}$

答案： B

例4. 已知实数$a$,$b$,$c$满足,$\sqrt{-\frac{1}{2}a + 1}+|2b + 3| = 0$,且$c是5-\sqrt{3}$的整数部分.
(1)求$a$,$b$,$c$的值；
(2)求$3a + 2b + c$的平方根.

答案： 解:
(1)
∵ $\sqrt{-\frac{1}{2}a+1}+|2b+3|=0$,
∴ $\sqrt{-\frac{1}{2}a+1}=0$,|2b+3|=0,
∴ a=2,b=-$\frac{3}{2}$.
∵ 1＜$\sqrt{3}$＜2,
∴ 3＜5-$\sqrt{3}$＜4,
∴ c=3.
(2)
∵ 3a+2b+c=2×3+2×(-$\frac{3}{2}$)+3=6,
∴ 3a+2b+c的平方根为±$\sqrt{6}$.